Seja C=A B cup C2, onde A=(2,-1), B=(2,0), e
C2: r(t)=(pi sen tt,-pi cos tt), t in[pi2, 3 pi]
Calcule
integralC x d x+y d yraizx^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha ao longo de uma curva que é a união de dois segmentos: o segmento de até e a curva parametrizada . O conteúdo envolvido aqui é cálculo de integrais de linha, especificamente envolvendo parametrização de curvas e cálculo diferencial. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar as curvas e aplicar as propriedades das integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva r(t) = ( pi sin tt, -pi cos tt ), t in [ pi2, 3pi ] . Ela é composta por duas partes:
  1. O segmento de até .
  2. A curva parametrizada por:

Passo 3

Vamos analisar o segmento . Como e têm a mesma coordenada , esse é um segmento vertical. A movimentação é de até .

Passo 4

Agora, vamos olhar para a curva r(pi2) = ( pi sin pi2pi2, -pi cos pi2pi2 ) = (2, 0) . Ao substituir r(3pi) = ( pi sin 3pi3pi, -pi cos 3pi3pi ) = (0, 13) :
Então, começa em e vai até . Para :
Então, vai de até o ponto .

Passo 5

A integral que precisamos calcular é:
integralC x , dx + y , dyraizx^2 + y^2
Essa expressão pode ser reconhecida como a derivada de d( raizx^2 + y^2 ) = x , dx + y , dyraizx^2 + y^2 , ou seja:
integralC d( raizx^2 + y^2 ) = raizx^2 + y^2 |início^fim
Portanto, a integral se simplifica para:
í

Passo 6

Vamos identificar os pontos de início e fim da curva :
  • Início:
  • Fim:
Agora, calculamos para esses pontos.

Passo 7

Calculando para raiz2^2 + (-1)^2 = raiz4 + 1 = raiz5 :
raiz0^2 + (13)^2 = raiz0 + 19 = 13
Calculando para :

Passo 8

Subtraindo o valor no final pelo valor no início:
raiz5 - 13

Resposta

raiz5 - dfrac13

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