Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha ao longo de uma curva que é a união de dois segmentos: o segmento de até e a curva parametrizada . O conteúdo envolvido aqui é cálculo de integrais de linha, especificamente envolvendo parametrização de curvas e cálculo diferencial. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar as curvas e aplicar as propriedades das integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva r(t) = ( pi sin tt, -pi cos tt ), t in [ pi2, 3pi ] . Ela é composta por duas partes:
O segmento de até .
A curva parametrizada por:
Passo 3
Vamos analisar o segmento . Como e têm a mesma coordenada , esse é um segmento vertical. A movimentação é de até .
Passo 4
Agora, vamos olhar para a curva r(pi2) = ( pi sin pi2pi2, -pi cos pi2pi2 ) = (2, 0) . Ao substituir r(3pi) = ( pi sin 3pi3pi, -pi cos 3pi3pi ) = (0, 13) :
Então, começa em e vai até . Para :
Então, vai de até o ponto .
Passo 5
A integral que precisamos calcular é:
integralC x , dx + y , dyraizx^2 + y^2
Essa expressão pode ser reconhecida como a derivada de d( raizx^2 + y^2 ) = x , dx + y , dyraizx^2 + y^2 , ou seja: