Parametrize a curva descrita por
C=(x, y, z) in R^3 ; x^2+y^2=z, 2 x+2 y+z=-1

Passo 1

O enunciado pede para parametrizar a curva C definida pela interseção do paraboloide circular x^2+y^2=z com o plano 2x+2y+z=-1. O conteúdo envolve seções cônicas e parametrização de curvas em R^3 e vamos precisar usar o plano para eliminar z, obter uma equação em x,y e reconhecer nela uma circunferência.

Passo 2

Isolamos z na equação do plano:
z = -1 - 2x - 2y

Passo 3

Substituímos esse z em x^2 + y^2 = z, obtendo
x^2 + y^2 = -1 - 2x - 2y

Passo 4

Reorganizamos e completamos quadrados em x e y:
x^2 + 2x + y^2 + 2y + 1 = 0

Passo 5

o que equivale a
(x+1)^2 + (y+1)^2 = 1

Passo 6

Portanto, no plano xy temos uma circunferência de raio 1 centrada em (-1,-1). Podemos parametrizá-la por um parâmetro t:
x + 1 = cos t, y + 1 = sin t

Passo 7

Ou seja,
x(t) = -1 + cos t, y(t) = -1 + sin t

Passo 8

Para completar, calculamos z(t) usando z = x^2 + y^2:
z(t) = [-1 + cos t]^2 + [-1 + sin t]^2 = 3 - 2(cos t + sin t)

Resposta

Uma parametrização conveniente é
r(t)=l(-1+cos t,,-1+sin t,,3-2(cos t+sin t)r), tin[0,2pi)

Exercícios relacionados