Sejam e números reais, , e considere a função definida por
Escreva a expressão de f tomando a=3 e b=1. Essa função é derivável em x=-1?
Passo 1
O enunciado define uma função por partes f:ℝ→ℝ, com três ramos dependentes de a e b, e pede que a gente substitua a=3 e b=1 e depois verifique se f é derivável em x=−1. Para isso vamos usar conceitos de derivabilidade de funções elementares, composição e quociente de funções deriváveis.
Para checar a derivabilidade em x=−1, note que −1 está estritamente no ramo x<0. Nesse ramo f é o quociente de duas funções:
• Numerador: sin xraiz[3]x+1, que é produto de sin x e raiz[3]x+1, ambas deriváveis em x=−1 porque x+1=0 não causa problema na raiz cúbica.
• Denominador: 3x, que é derivável e vale 3·(−1)=−3≠0 em x=−1.
Como o denominador é não nulo e numerador e denominador são deriváveis em x=−1, o quociente é derivável ali.