Sejam a e b números reais, a neq 0, e considere a função f: R R definida por
f(x)= sen x raiz[3]x+1a x, & se x<0 1+e^x, & se 0 <= x<1 b sen(pi x), & se x >= 1
Escreva a expressão de f tomando a=3 e b=1. Essa função é derivável em x=-1?

Passo 1

O enunciado define uma função por partes f:ℝ→ℝ, com três ramos dependentes de a e b, e pede que a gente substitua a=3 e b=1 e depois verifique se f é derivável em x=−1. Para isso vamos usar conceitos de derivabilidade de funções elementares, composição e quociente de funções deriváveis.

Passo 2

Substituindo a=3 e b=1 na definição de f, obtemos
f(x)= sin x,raiz[3]x+13x, & x<0, 1+e^x, & 0<= x<1, sin(pi x), & x>= 1

Passo 3

Para checar a derivabilidade em x=−1, note que −1 está estritamente no ramo x<0. Nesse ramo f é o quociente de duas funções:
• Numerador: sin xraiz[3]x+1, que é produto de sin x e raiz[3]x+1, ambas deriváveis em x=−1 porque x+1=0 não causa problema na raiz cúbica.
• Denominador: 3x, que é derivável e vale 3·(−1)=−3≠0 em x=−1.
Como o denominador é não nulo e numerador e denominador são deriváveis em x=−1, o quociente é derivável ali.

Passo 4

Portanto, f é derivável em x=−1.

Resposta

A expressão de f para a=3 e b=1 é
f(x)= sin x,raiz[3]x+13x, & x<0, 1+e^x, & 0<= x<1, sin(pi x), & x>= 1,
e sim, f é derivável em x=−1.

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