Sejam \vec{u}=(1,1,1), \vec{v}=(0,1,1) e \vec{w}=(1,1,0) vetores no espaço.
(a) Encontre as componentes de um vetor \vec{z}=(1,2,3) em relação à base formada por \vec{u}, \vec{v}, e \vec{w}.
(b) Encontre as componentes de um vetor \vec{z}=(a, b, c) em relação à base formada por \vec{u}, \vec{v}, \vec{w}.
Aqui \alpha,\beta,\gamma são as componentes (ou coordenadas) de \vec{z} nessa base. Vou usar esse modelo para os dois itens. Explico passo a passo como montar as equações componente a componente.)
Passo 3
Escrevendo a combinação linear componente a componente: se \vec{u}=(u_1,u_2,u_3), \vec{v}=(v_1,v_2,v_3), \vec{w}=(w_1,w_2,w_3) e \vec{z}=(z_1,z_2,z_3), então
\alpha u_1+\beta v_1+\gamma w_1 = z_1,
\alpha u_2+\beta v_2+\gamma w_2 = z_2,
\alpha u_3+\beta v_3+\gamma w_3 = z_3.
Aqui cada linha é uma equação escalar — é um sistema linear 3×3 nas variáveis \alpha,\beta,\gamma. Vou aplicar isso aos dados concretos do problema.
Passo 4
Aplicando ao caso (a): \vec{z}=(1,2,3). Usando \vec{u}=(1,1,1), \vec{v}=(0,1,1), \vec{w}=(1,1,0) obtemos as equações (compondo cada coordenada):
Primeira coordenada:
logo as colunas são linearmente independentes e a solução (\alpha,\beta,\gamma) é única. Isso explica por que o método de resolver o sistema sempre dá uma única resposta.]
Passo 7
Agora o item (b): \vec{z}=(a,b,c) com símbolos genéricos. Repetimos o mesmo procedimento e escrevemos as três equações:
Primeira coordenada:
\alpha + \gamma = a.
Segunda coordenada:
\alpha + \beta + \gamma = b.
Terceira coordenada:
\alpha + \beta = c.
Novamente usamos substituição. Da terceira equação:
\beta = c - \alpha.
Substituindo na segunda:
\alpha + (c-\alpha) + \gamma = b \quad\Rightarrow\quad c + \gamma = b \quad\Rightarrow\quad \gamma = b-c.
Usando a primeira equação para achar \alpha:
\alpha + \gamma = a \quad\Rightarrow\quad \alpha + (b-c) = a \quad\Rightarrow\quad \alpha = a - b + c.
Finalmente \beta = c - \alpha = c - (a-b+c) = b - a.
Portanto, as componentes gerais são \alpha = a-b+c,\\ \beta = b-a,\\ \gamma = b-c.