Sejam \vec{u}=(1,1,1), \vec{v}=(0,1,1) e \vec{w}=(1,1,0) vetores no espaço.
(a) Encontre as componentes de um vetor \vec{z}=(1,2,3) em relação à base formada por \vec{u}, \vec{v}, e \vec{w}.
(b) Encontre as componentes de um vetor \vec{z}=(a, b, c) em relação à base formada por \vec{u}, \vec{v}, \vec{w}.

Passo 1

O enunciado dá três vetores no espaço:
\vec{u}=(1,1,1),\qquad \vec{v}=(0,1,1),\qquad \vec{w}=(1,1,0).
Pede duas coisas:
  1. Para \vec{z}=(1,2,3), encontrar as componentes de \vec{z} em relação à base formada por \vec{u},\vec{v},\vec{w}.
  2. Para \vec{z}=(a,b,c), encontrar as componentes de \vec{z} em relação à mesma base \{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\}.
As informações relevantes são os três vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w} e os dois vetores \vec{z} (um com coordenadas numéricas e outro genérico).

Passo 2

O que significa "componentes de \vec{z} em relação à base \{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\}"? Significa encontrar escalares \(\alpha,\beta,\gamma tais que
\alpha\,\vec{u}+\beta\,\vec{v}+\gamma\,\vec{w}=\vec{z}.
Aqui \alpha,\beta,\gamma são as componentes (ou coordenadas) de \vec{z} nessa base. Vou usar esse modelo para os dois itens. Explico passo a passo como montar as equações componente a componente.)

Passo 3

Escrevendo a combinação linear componente a componente: se \vec{u}=(u_1,u_2,u_3), \vec{v}=(v_1,v_2,v_3), \vec{w}=(w_1,w_2,w_3) e \vec{z}=(z_1,z_2,z_3), então
\alpha u_1+\beta v_1+\gamma w_1 = z_1,
\alpha u_2+\beta v_2+\gamma w_2 = z_2,
\alpha u_3+\beta v_3+\gamma w_3 = z_3.
Aqui cada linha é uma equação escalar — é um sistema linear 3×3 nas variáveis \alpha,\beta,\gamma. Vou aplicar isso aos dados concretos do problema.

Passo 4

Aplicando ao caso (a): \vec{z}=(1,2,3). Usando \vec{u}=(1,1,1), \vec{v}=(0,1,1), \vec{w}=(1,1,0) obtemos as equações (compondo cada coordenada):
Primeira coordenada:
\alpha\cdot 1 + \beta\cdot 0 + \gamma\cdot 1 = 1 \quad\Rightarrow\quad \alpha + \gamma = 1.
Segunda coordenada:
\alpha\cdot 1 + \beta\cdot 1 + \gamma\cdot 1 = 2 \quad\Rightarrow\quad \alpha + \beta + \gamma = 2.
Terceira coordenada:
\alpha\cdot 1 + \beta\cdot 1 + \gamma\cdot 0 = 3 \quad\Rightarrow\quad \alpha + \beta = 3.

Passo 5

Resolver o sistema do Passo 4 por substituição (método simples e prático em prova):
Da terceira equação temos
\beta = 3 - \alpha.
Substituindo na segunda equação:
\alpha + (3-\alpha) + \gamma = 2 \quad\Rightarrow\quad 3 + \gamma = 2 \quad\Rightarrow\quad \gamma = -1.
Agora usa-se a primeira equação \alpha + \gamma = 1:
\alpha + (-1) = 1 \quad\Rightarrow\quad \alpha = 2.
E então \beta = 3-\alpha = 3-2 = 1.
Assim, para \vec{z}=(1,2,3) as componentes são \alpha=2,\\ \beta=1,\\ \gamma=-1.

Passo 6

Curiosidade útil para prova: garantir unicidade da solução. Podemos montar a matriz cujas colunas são \vec{u},\vec{v},\vec{w}:
A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 0\end{pmatrix}.
O determinante dessa matriz é
\det(A) = -1\neq 0,
logo as colunas são linearmente independentes e a solução (\alpha,\beta,\gamma) é única. Isso explica por que o método de resolver o sistema sempre dá uma única resposta.]

Passo 7

Agora o item (b): \vec{z}=(a,b,c) com símbolos genéricos. Repetimos o mesmo procedimento e escrevemos as três equações:
Primeira coordenada:
\alpha + \gamma = a.
Segunda coordenada:
\alpha + \beta + \gamma = b.
Terceira coordenada:
\alpha + \beta = c.
Novamente usamos substituição. Da terceira equação:
\beta = c - \alpha.
Substituindo na segunda:
\alpha + (c-\alpha) + \gamma = b \quad\Rightarrow\quad c + \gamma = b \quad\Rightarrow\quad \gamma = b-c.
Usando a primeira equação para achar \alpha:
\alpha + \gamma = a \quad\Rightarrow\quad \alpha + (b-c) = a \quad\Rightarrow\quad \alpha = a - b + c.
Finalmente \beta = c - \alpha = c - (a-b+c) = b - a.
Portanto, as componentes gerais são \alpha = a-b+c,\\ \beta = b-a,\\ \gamma = b-c.

Resposta

(a) (2,1,-1)
(b) (a-b+c,\; b-a,\; b-c)

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