Parametrize a seguinte curva
no plano ou no espaço:
Curva ao longo do círculo de raio 3, do ponto
ao ponto
, por baixo.
Curva ao longo do círculo de raio 3, do ponto
Passo 1
O enunciado pede a parametrização da semicircunferência de raio 3 que vai do ponto (3,0) ao ponto (−3,0) passando pela parte inferior do círculo. O conteúdo aqui é parametrização de curvas circulares e vamos precisar usar as funções trigonométricas seno e cosseno.
Passo 2
Para uma circunferência de raio a no plano, a parametrização padrão é
com t variando de 0 a 2π. Isso garante que o ponto (a,0) corresponde a t=0 e que, à medida que t aumenta, percorremos todo o círculo no sentido anti-horário.
Passo 3
Como queremos apenas a metade inferior do círculo, podemos inverter o sinal da componente y ou então ajustar o intervalo de t para a parte de π a 2π. Aqui vamos optar por y negativo e t de 0 a π: assim, x=3\cos t varia de 3 a −3 e y=−3\sin t fica sempre ≤0, cobrindo exatamente a parte de baixo do círculo.
Passo 4
Concluindo, uma parametrização que atende ao enunciado é
Verificamos que
e
, e o caminho vai pela parte inferior do círculo.