Parametrize a seguinte curva C no plano ou no espaço:
Curva ao longo do círculo de raio 3, do ponto (3,0) ao ponto (-3,0), por baixo.

Passo 1

O enunciado pede a parametrização da semicircunferência de raio 3 que vai do ponto (3,0) ao ponto (−3,0) passando pela parte inferior do círculo. O conteúdo aqui é parametrização de curvas circulares e vamos precisar usar as funções trigonométricas seno e cosseno.

Passo 2

Para uma circunferência de raio a no plano, a parametrização padrão é
r(t)=(acos t,,asin t),
com t variando de 0 a 2π. Isso garante que o ponto (a,0) corresponde a t=0 e que, à medida que t aumenta, percorremos todo o círculo no sentido anti-horário.

Passo 3

Como queremos apenas a metade inferior do círculo, podemos inverter o sinal da componente y ou então ajustar o intervalo de t para a parte de π a 2π. Aqui vamos optar por y negativo e t de 0 a π: assim, x=3\cos t varia de 3 a −3 e y=−3\sin t fica sempre ≤0, cobrindo exatamente a parte de baixo do círculo.

Passo 4

Concluindo, uma parametrização que atende ao enunciado é
r(t)=(3cos t,,-3sin t), 0<= t<= pi
Verificamos que r(0)=(3,0) e r(pi)=(-3,0), e o caminho vai pela parte inferior do círculo.

Resposta

r(t)=(3cos t,,-3sin t), 0<= t<= pi

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