Prove, usando a definição de limite, que.
lim z infty(z^2-1) /(z-3)=infty

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando a definição de limite no infinito, que para todo número real positivo M existe R tal que, sempre que |z|>R, vale l|z^2-1z-3r|>M. O conteúdo envolvido é limite de função racional no infinito, e vamos precisar da definição: “ limztoinftyf(z)=infty” significa que, dado M>0, existe R>0 tal que |z|>R implica |f(z)|>M.

Passo 2

Para estimar l|tfracz^2-1z-3r| usamos desigualdade triangular e propriedades de módulo: primeiro,
|z^2-1|>= |z|^2-1, |z-3|<= |z|+3

Passo 3

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l|z^2-1z-3r|>=|z|^2-1|z|+3

Passo 4

Para simplificar essa razão, escolhemos R de modo que |z|>R implique duas coisas: (i) |z|>1 assegura |z|^2-1>tfrac12|z|^2, (ii) |z|>3 assegura |z|+3<2|z|. Então, para |z|>max{1,3},
|z|^2-1|z|+3>tfrac12|z|^22|z|=|z|4

Passo 5

Dado agora um M>0, basta definir
R=max1,3,4M

Passo 6

Então, sempre que |z|>R temos
l|z^2-1z-3r|>|z|4>4M4=M,
o que, pela definição, prova que
limztoinftytfracz^2-1z-3=infty.

Resposta

infty

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