O enunciado pede para mostrar que usando a definição de limite infinito: dado um , temos que encontrar um tal que, sempre que , valha . Vamos usar fatoração do denominador e estimativas de módulo.
Passo 2
Observamos que z^2+1=(z-i)(z+i). Assim,
[\bigl|\tfrac{7}{z^2+1}\bigr|=\frac{7}{|z-i|,|z+i|}]
Passo 3
Para controlar |z+i| quando z está perto de i, impomos |z-i|<1. Então, pelo triângulo,
[|z+i|=|,(z-i)+2i,|\le|z-i|+2<1+2=3]
Passo 4
Logo, sempre que |z-i|<1,
[\bigl|\tfrac{7}{z^2+1}\bigr|=\frac{7}{|z-i|,|z+i|}>\frac{7}{3,|z-i|}]
Passo 5
Agora, dado um R>0, basta escolher
[\delta=\min\bigl{1,,\tfrac{7}{3R}\bigr}.]
Passo 6
Se 0<|z-i| então |z-i|<1 e
[\bigl|\tfrac{7}{z^2+1}\bigr|>\frac{7}{3|z-i|}\ge\frac{7}{3\delta}\ge R,]
Passo 7
o que mostra a definição de limzto i7z^2+1=infty.
Resposta
Escolhendo de, garante-se que, sempre que 0<|z-i|, valha l|tfrac7z^2+1r|>R. Portanto, limzto i7z^2+1=infty.