Prove, usando a definição de limite, que.
lim z i 7 /(z^2+1)=infty

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que limzto i7z^2+1=infty usando a definição de limite infinito: dado um R>0, temos que encontrar um de0 tal que, sempre que 0<|z-i|, valha l|tfrac7z^2+1r|>R. Vamos usar fatoração do denominador e estimativas de módulo.

Passo 2

Observamos que z^2+1=(z-i)(z+i). Assim,
[\bigl|\tfrac{7}{z^2+1}\bigr|=\frac{7}{|z-i|,|z+i|}]

Passo 3

Para controlar |z+i| quando z está perto de i, impomos |z-i|<1. Então, pelo triângulo,
[|z+i|=|,(z-i)+2i,|\le|z-i|+2<1+2=3]

Passo 4

Logo, sempre que |z-i|<1,
[\bigl|\tfrac{7}{z^2+1}\bigr|=\frac{7}{|z-i|,|z+i|}>\frac{7}{3,|z-i|}]

Passo 5

Agora, dado um R>0, basta escolher
[\delta=\min\bigl{1,,\tfrac{7}{3R}\bigr}.]

Passo 6

Se 0<|z-i| então |z-i|<1 e
[\bigl|\tfrac{7}{z^2+1}\bigr|>\frac{7}{3|z-i|}\ge\frac{7}{3\delta}\ge R,]

Passo 7

o que mostra a definição de limzto i7z^2+1=infty.

Resposta

Escolhendo de, garante-se que, sempre que 0<|z-i|, valha l|tfrac7z^2+1r|>R. Portanto, limzto i7z^2+1=infty.

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