Use a regra de L’Hôpital para calcular os seguintes limites:
(i)
.
(ii)
.
(iii)
.
(iv)
.
(v)
.
(vi)
.
(vii)
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(viii)
.
(ix)
.
(x)
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(xi)
.
(xii)
.
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
(vii)
(viii)
(ix)
(x)
(xi)
(xii)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Aqui, estamos lidando com limites envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos usar a Regra de L’Hôpital, que é útil quando encontramos indeterminações como
ou
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se ao substituir
no numerador e denominador obtemos uma indeterminação.
Numerador:
Denominador:
Como ambos são 0, temos uma forma
, então podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 3
A Regra de L’Hôpital nos diz que:
desde que o limite à direita exista.
Vamos derivar o numerador e o denominador separadamente.
Derivada do numerador
:
Derivada do denominador
:
Passo 4
Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo pelas derivadas:
Substituindo
:
Então:
Resposta
O limite
é igual a
.