Use a regra de L’Hôpital para calcular os seguintes limites:
(i) lim x 0 x+sin (2 x)x-sin (2 x).
(ii) lim x 0 e^x-1x^2.
(iii) lim x 0 e^x+e^-x-x^2-2sin ^2(x)-x^2.
(iv) lim x pi^+ sin (x)raizx-pi.
(v) lim x 0^+ ln (sin (x))ln (tan (x)).
(vi) lim x 0 cot (x)cot (2 x).
(vii) lim x 0^+ x^2 ln (x).
(viii) lim x pi4(1-tan (x)) sec (2 x).
(ix) lim x 0(csc (x)-cot (x)).
(x) lim x infty raiz2+x^2x.
(xi) .
(xii) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite lim x 0 x+sin (2 x)x-sin (2 x). Aqui, estamos lidando com limites envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos usar a Regra de L’Hôpital, que é útil quando encontramos indeterminações como 00 ou inftyinfty.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se ao substituir x = 0 no numerador e denominador obtemos uma indeterminação.
Numerador:
x + sin(2x) = 0 + sin(0) = 0
Denominador:
x - sin(2x) = 0 - sin(0) = 0
Como ambos são 0, temos uma forma 00, então podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital nos diz que:
limx a f(x)g(x) = limx a f'(x)g'(x)
desde que o limite à direita exista.
Vamos derivar o numerador e o denominador separadamente.
Derivada do numerador f(x) = x + sin(2x):
f'(x) = 1 + 2cos(2x)
Derivada do denominador g(x) = x - sin(2x):
g'(x) = 1 - 2cos(2x)

Passo 4

Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo pelas derivadas:
limx 0 1 + 2cos(2x)1 - 2cos(2x)
Substituindo x = 0:
cos(0) = 1
Então:
1 + 2(1)1 - 2(1) = 1 + 21 - 2 = 3-1 = -3

Resposta

O limite lim x 0 x+sin (2 x)x-sin (2 x) é igual a -3.

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