Calcule \int_{C} F \cdot d r sem usar o teorema de Green.
F(x, y, z)=(y, x, y) ; C: r(t)=(\cos t, \sin t, t / 6), t \in[0,2 \pi].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C}F\cdot dr
onde
F(x,y,z)=(y,\;x,\;y)
e a curva C é dada pela parametrização
r(t)=(\cos t,\;\sin t,\;t/6),\quad t\in[0,2\pi].
Vamos usar a definição de integral de linha para campos vetoriais:
\int_{C}F\cdot dr=\int_{0}^{2\pi}F\bigl(r(t)\bigr)\cdot r'(t)\,dt.

Passo 2

Primeiro calculamos F(r(t)) substituindo x=\cos t, y=\sin t, z=t/6 em F:
F\bigl(r(t)\bigr) =\bigl(\sin t,\;\cos t,\;\sin t\bigr).
Em seguida obtemos a derivada r'(t):
r'(t)=\bigl(-\sin t,\;\cos t,\;1/6\bigr).

Passo 3

Agora fazemos o produto escalar F(r(t))\cdot r'(t):
F(r(t))\cdot r'(t) =\sin t\cdot(-\sin t)+\cos t\cdot\cos t+\sin t\cdot\frac16 =-\sin^2t+\cos^2t+\frac{\sin t}{6}.
Usando a identidade \cos^2t-\sin^2t=\cos2t, isso fica
\cos2t+\frac{\sin t}{6}.

Passo 4

Integramos de 0 a 2\pi:
\int_{0}^{2\pi}\Bigl(\cos2t+\frac{\sin t}{6}\Bigr)dt =\int_{0}^{2\pi}\cos2t\,dt+\frac{1}{6}\int_{0}^{2\pi}\sin t\,dt.
Sabemos que
\int_{0}^{2\pi}\cos2t\,dt=0, \quad \int_{0}^{2\pi}\sin t\,dt=0,
logo o valor total é 0.

Resposta

\int_{C}F\cdot dr=0.

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