Seja
uma a.a. selecionada de uma população normal de média
e variância 1. Considere os seguintes estimadores para
Compare os estimadores em relação ao enviesamento e à eficiência.
Passo 1
O que o enunciado dá e pede:
- Dado:
são observações (amostra aleatória) de uma população normal com média e variância . Assumo e independentes. - Estimadores (corrigindo o índice repetido):
, e . - Pedido: comparar esses estimadores quanto ao enviesamento (bias) e à eficiência (variância / erro quadrático médio).
- Informações úteis que já temos: para combinações lineares de variáveis independentes,
e .
Passo 2
Definição de enviesamento e cálculo das expectativas (para achar o bias):
- Definição: o enviesamento (bias) de um estimador
para é . Se for zero, o estimador é não viesado (não enviesado). - Calcular
: Logo . - Calcular
: Logo . Assim é enviesado, com bias . - Calcular
: Logo . - Conclusão parcial sobre enviesamento:
e são não viesados; é viesado com bias .
Passo 3
Cálculo das variâncias (medida de eficiência entre estimadores não viesados):
- Fórmula usada: para independência e
, - Para
temos . Então - Para
temos . Então - Para
temos . Então - Observação numérica:
e . Portanto .
Passo 4
Quem é mais eficiente entre os não viesados e por quê (minimização da variância sob a condição de não enviesamento):
- Considere estimadores lineares
. Para ser não viesado precisamos de (porque deve ser ). - Com
, a variância é - Derivando e igualando a zero:
, então . Esse mínimo dá . - Conclusão: entre todos os estimadores lineares não viesados formados por
, o melhor em variância é , ou seja . Portanto é mais eficiente que .
Passo 5
Comparação usando o erro quadrático médio (MSE), importante quando há estimadores viesados:
- Definição:
. - Para
(não viesado): . - Para
(não viesado): . - Para
(viesado com bias ): - Comparações:
- Entre
e : , logo tem menor MSE e é preferível. -
tem , que é sempre . Assim: - Se
, (empate entre e ). - Se
, , então tem MSE maior que e normalmente é pior.
- Se
- Comparando
com : se e só se Ou seja, para médias muito próximas de zero pode ter menor MSE que , apesar de viesado; para valores de maiores, é pior que .
- Entre
Passo 6
Resumo final e interpretação prática (estilo amigo: leve e encorajador):
- Dois estimadores não viesados:
e . Dentre eles é o mais eficiente (menor variância). -
é viesado (bias ) e tem a mesma variância que , mas normalmente seu é maior por causa do termo — isto é, quase sempre é pior, exceto no caso especial (empate com ) ou quando é muito pequeno (então pode superar em MSE). - Regra prática para a prova: prefira
. Ele é não viesado e tem a menor variância entre estimadores lineares não viesados — é a escolha “segura” e eficiente.
Resposta
Enviesamento:
Eficiência/MSE:
é o mais eficiente entre os não viesados;
Em geral
é a melhor escolha (exceto empate com
quando
).
Eficiência/MSE: