Seja X_{1}, X_{2} uma a.a. selecionada de uma população normal de média \mu e variância 1. Considere os seguintes estimadores para \mu
\hat{\theta}_{1}=\frac{2 X_{1}+X_{2}}{3}, \quad \hat{\theta}_{2}=\frac{X_{1}-X_{2}}{2} \quad \text { e } \quad \hat{\theta}_{2}=\frac{X_{1}+X_{2}}{2}
Compare os estimadores em relação ao enviesamento e à eficiência.

Passo 1

O que o enunciado dá e pede:
  • Dado: X_{1},X_{2} são observações (amostra aleatória) de uma população normal com média \mu e variância 1. Assumo X_{1} e X_{2} independentes.
  • Estimadores (corrigindo o índice repetido): \hat{\theta}_{1}=\dfrac{2X_{1}+X_{2}}{3}, \hat{\theta}_{2}=\dfrac{X_{1}-X_{2}}{2} e \hat{\theta}_{3}=\dfrac{X_{1}+X_{2}}{2}.
  • Pedido: comparar esses estimadores quanto ao enviesamento (bias) e à eficiência (variância / erro quadrático médio).
  • Informações úteis que já temos: para combinações lineares de variáveis independentes, \mathbb{E}[aX_{1}+bX_{2}]=a\mathbb{E}[X_{1}]+b\mathbb{E}[X_{2}] e \operatorname{Var}(aX_{1}+bX_{2})=a^{2}\operatorname{Var}(X_{1})+b^{2}\operatorname{Var}(X_{2}).

Passo 2

Definição de enviesamento e cálculo das expectativas (para achar o bias):
  • Definição: o enviesamento (bias) de um estimador \hat{\theta} para \mu é \operatorname{Bias}(\hat{\theta})=\mathbb{E}[\hat{\theta}]-\mu. Se for zero, o estimador é não viesado (não enviesado).
  • Calcular \mathbb{E}[\hat{\theta}_{1}]: \mathbb{E}\!\left[\hat{\theta}_{1}\right]=\mathbb{E}\!\left[\frac{2X_{1}+X_{2}}{3}\right]=\frac{2\mathbb{E}[X_{1}]+\mathbb{E}[X_{2}]}{3}=\frac{2\mu+\mu}{3}=\mu.Logo \operatorname{Bias}(\hat{\theta}_{1})=\mu-\mu=0.
  • Calcular \mathbb{E}[\hat{\theta}_{2}]: \mathbb{E}\!\left[\hat{\theta}_{2}\right]=\mathbb{E}\!\left[\frac{X_{1}-X_{2}}{2}\right]=\frac{\mathbb{E}[X_{1}]-\mathbb{E}[X_{2}]}{2}=\frac{\mu-\mu}{2}=0.Logo \operatorname{Bias}(\hat{\theta}_{2})=0-\mu=-\mu. Assim \hat{\theta}_{2} é enviesado, com bias -\mu.
  • Calcular \mathbb{E}[\hat{\theta}_{3}]: \mathbb{E}\!\left[\hat{\theta}_{3}\right]=\mathbb{E}\!\left[\frac{X_{1}+X_{2}}{2}\right]=\frac{\mu+\mu}{2}=\mu.Logo \operatorname{Bias}(\hat{\theta}_{3})=0.
  • Conclusão parcial sobre enviesamento: \hat{\theta}_{1} e \hat{\theta}_{3} são não viesados; \hat{\theta}_{2} é viesado com bias -\mu.

Passo 3

Cálculo das variâncias (medida de eficiência entre estimadores não viesados):
  • Fórmula usada: para independência e \operatorname{Var}(X_{i})=1, \operatorname{Var}\!\left(aX_{1}+bX_{2}\right)=a^{2}\cdot 1 + b^{2}\cdot 1 = a^{2}+b^{2}.
  • Para \hat{\theta}_{1}=\dfrac{2X_{1}+X_{2}}{3} temos a=\tfrac{2}{3},\,b=\tfrac{1}{3}. Então \operatorname{Var}\!\left(\hat{\theta}_{1}\right)=\left(\frac{2}{3}\right)^{2}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}+\frac{1}{9}=\frac{5}{9}.
  • Para \hat{\theta}_{2}=\dfrac{X_{1}-X_{2}}{2} temos a=\tfrac{1}{2},\,b=-\tfrac{1}{2}. Então \operatorname{Var}\!\left(\hat{\theta}_{2}\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}.
  • Para \hat{\theta}_{3}=\dfrac{X_{1}+X_{2}}{2} temos a=\tfrac{1}{2},\,b=\tfrac{1}{2}. Então \operatorname{Var}\!\left(\hat{\theta}_{3}\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}.
  • Observação numérica: \dfrac{5}{9}\approx 0{,}555\ldots e \dfrac{1}{2}=0{,}5. Portanto \operatorname{Var}(\hat{\theta}_{3})<\operatorname{Var}(\hat{\theta}_{1}).

Passo 4

Quem é mais eficiente entre os não viesados e por quê (minimização da variância sob a condição de não enviesamento):
  • Considere estimadores lineares aX_{1}+bX_{2}. Para ser não viesado precisamos de a+b=1 (porque \mathbb{E}[aX_{1}+bX_{2}]=(a+b)\mu deve ser \mu).
  • Com b=1-a, a variância é V(a)=a^{2}+(1-a)^{2}=2a^{2}-2a+1.
  • Derivando e igualando a zero: V'(a)=4a-2=0 \Rightarrow a=\tfrac{1}{2}, então b=\tfrac{1}{2}. Esse mínimo dá V(\tfrac{1}{2})=\tfrac{1}{2}.
  • Conclusão: entre todos os estimadores lineares não viesados formados por X_{1},X_{2}, o melhor em variância é a=b=\tfrac{1}{2}, ou seja \hat{\theta}_{3}=\dfrac{X_{1}+X_{2}}{2}. Portanto \hat{\theta}_{3} é mais eficiente que \hat{\theta}_{1}.

Passo 5

Comparação usando o erro quadrático médio (MSE), importante quando há estimadores viesados:
  • Definição: \operatorname{MSE}(\hat{\theta})=\mathbb{E}\big[(\hat{\theta}-\mu)^{2}\big]=\operatorname{Var}(\hat{\theta})+[\operatorname{Bias}(\hat{\theta})]^{2}.
  • Para \hat{\theta}_{1} (não viesado): \operatorname{MSE}(\hat{\theta}_{1})=\operatorname{Var}(\hat{\theta}_{1})=\dfrac{5}{9}.
  • Para \hat{\theta}_{3} (não viesado): \operatorname{MSE}(\hat{\theta}_{3})=\operatorname{Var}(\hat{\theta}_{3})=\dfrac{1}{2}.
  • Para \hat{\theta}_{2} (viesado com bias -\mu): \operatorname{MSE}(\hat{\theta}_{2})=\operatorname{Var}(\hat{\theta}_{2})+(\!-\mu\!)^{2}=\frac{1}{2}+\mu^{2}.
  • Comparações:
    • Entre \hat{\theta}_{1} e \hat{\theta}_{3}: \dfrac{1}{2}<\dfrac{5}{9}, logo \hat{\theta}_{3} tem menor MSE e é preferível.
    • \hat{\theta}_{2} tem \operatorname{MSE}=\dfrac{1}{2}+\mu^{2}, que é sempre \ge \dfrac{1}{2}. Assim:
      • Se \mu=0, \operatorname{MSE}(\hat{\theta}_{2})=\dfrac{1}{2}=\operatorname{MSE}(\hat{\theta}_{3}) (empate entre \hat{\theta}_{2} e \hat{\theta}_{3}).
      • Se \mu\neq 0, \operatorname{MSE}(\hat{\theta}_{2})> \dfrac{1}{2}, então \hat{\theta}_{2} tem MSE maior que \hat{\theta}_{3} e normalmente é pior.
    • Comparando \hat{\theta}_{2} com \hat{\theta}_{1}: \operatorname{MSE}(\hat{\theta}_{2})<\operatorname{MSE}(\hat{\theta}_{1}) se e só se \frac{1}{2}+\mu^{2}<\frac{5}{9}\quad\Longrightarrow\quad \mu^{2}<\frac{1}{18}\quad\Longrightarrow\quad |\mu|<\frac{1}{3\sqrt{2}}\approx 0{,}2357.Ou seja, para médias muito próximas de zero \hat{\theta}_{2} pode ter menor MSE que \hat{\theta}_{1}, apesar de viesado; para valores de |\mu| maiores, \hat{\theta}_{2} é pior que \hat{\theta}_{1}.

Passo 6

Resumo final e interpretação prática (estilo amigo: leve e encorajador):
  • Dois estimadores não viesados: \hat{\theta}_{1} e \hat{\theta}_{3}. Dentre eles \hat{\theta}_{3}=\dfrac{X_{1}+X_{2}}{2} é o mais eficiente (menor variância).
  • \hat{\theta}_{2} é viesado (bias -\mu) e tem a mesma variância que \hat{\theta}_{3}, mas normalmente seu \operatorname{MSE} é maior por causa do termo \mu^{2} — isto é, quase sempre é pior, exceto no caso especial \mu=0 (empate com \hat{\theta}_{3}) ou quando |\mu| é muito pequeno (então pode superar \hat{\theta}_{1} em MSE).
  • Regra prática para a prova: prefira \hat{\theta}_{3}=(X_{1}+X_{2})/2. Ele é não viesado e tem a menor variância entre estimadores lineares não viesados — é a escolha “segura” e eficiente.

Resposta

Enviesamento: \operatorname{Bias}(\hat{\theta}_{1})=0,\;\operatorname{Bias}(\hat{\theta}_{2})=-\mu,\;\operatorname{Bias}(\hat{\theta}_{3})=0.
Eficiência/MSE: \operatorname{Var}(\hat{\theta}_{1})=\dfrac{5}{9},\;\operatorname{Var}(\hat{\theta}_{2})=\dfrac{1}{2},\;\operatorname{Var}(\hat{\theta}_{3})=\dfrac{1}{2}. \hat{\theta}_{3} é o mais eficiente entre os não viesados; \operatorname{MSE}(\hat{\theta}_{1})=\dfrac{5}{9},\;\operatorname{MSE}(\hat{\theta}_{2})=\dfrac{1}{2}+\mu^{2},\;\operatorname{MSE}(\hat{\theta}_{3})=\dfrac{1}{2}. Em geral \hat{\theta}_{3} é a melhor escolha (exceto empate com \hat{\theta}_{2} quando \mu=0).

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