Seja
uma única variável aleatória com distribuição de Bernoulli com parâmetro
. Sejam
e
dois estimadores de
.
(a) Verifique se os estimadores são viciados para
.
(b) Compare os EQM’s
(a) Verifique se os estimadores são viciados para
(b) Compare os EQM’s
Passo 1
Enunciado e dados que temos (o que a questão pede e o que é dado):
- Temos uma única variável aleatória
com distribuição Bernoulli de parâmetro . Logo . - Dois estimadores de
são propostos: -
. -
(constante).
-
- Perguntas:
(a) Verificar se cada estimador é viciado (bias) para.
(b) Comparar os EQM’s (erro quadrático médio, MSE) dos dois estimadores.
Passo 2
Lembrete rápido (aula mini) sobre momentos da Bernoulli — vamos deduzir esperança e variância de
porque vamos precisar:
- Definição: se
Bernoulli , então e . - Esperança:
Explicação: a esperança é uma média ponderada dos valores possíveis pelo suas probabilidades. - Variância:
Como quando , temos . Assim Intuição: variância mede dispersão; para Bernoulli é máxima em .
Passo 3
Definição de viés (bias) e como calcular:
- Viés de um estimador
é . - Vamos calcular para cada estimador.
Para
:
Conclusão:
é não-viciado (unbiased).
Para
(constante):
Conclusão:
é viciado, salvo no caso especial
em que o viés é zero.
Passo 4
Definição e fórmula útil do EQM (MSE):
- Por definição o EQM (MSE) é
- Identidade importante (muito usada em provas):
Prova curta: expandindo e usando obtém-se essa decomposição. Intuição: MSE mistura variância (aleatoriedade) e viés (erro sistemático).
Passo 5
Calcular
de
:
- Já temos
. - Viés é zero, então
Explicação: como é não-viciado, o MSE é só a variância.
Passo 6
Calcular
de
:
-
é constante, logo . - Viés
. - Assim
Passo 7
Comparação dos EQM’s — análise algébrica para ver quando um é menor que o outro:
- Defina a diferença
- Vamos simplificar
. Primeiro calcule . Então Agora reescrevendo em forma de quadrado: (verifique substituindo obtém , que bate com os valores numéricos.) - Queremos saber quando
, isto é . Da expressão: implica Tomando raiz, - Interpretação: se
estiver suficientemente longe de (ou seja, distância maior ou igual a ), então (que é ) tem menor ou igual MSE e portanto é preferível no critério MSE. Se estiver mais próximo de (distância menor que ), então a constante tem MSE menor — curiosamente, apesar de viesada, a constante vence por reduzir a variância a zero quando está perto de .
Passo 8
Exemplos numéricos para fixar a intuição:
- Se
: Aqui é melhor. - Se
: Aqui é melhor (é perfeita). - Se
: Aqui é melhor (porque está a de , que é menor que ? na verdade 0,3<0,3536 então sim melhor).
Passo 9
Resumo conceitual e dica para prova (ânimo!):
-
é não-viciado e tem MSE igual à sua variância . -
é viciado (salvo ) e tem MSE . - Em termos de MSE, nenhum dominador global: qual é melhor depende de
. A condição crítica é (então ganha) ou o contrário (então ganha). - Força aí — na prova, calcule bias e MSE via
; muitas questões pedem exatamente esse raciocínio.
Resposta
(a)
é não-viciado (viés
).
é viciado, com viés
.
(b) .
.
tem menor ou igual MSE quando
(caso contrário
tem MSE menor).
(b)