Seja X uma única variável aleatória com distribuição de Bernoulli com parâmetro \theta. Sejam \hat{\theta}_{1}=X e \hat{\theta}_{2}=\frac{1}{2} dois estimadores de \theta.
(a) Verifique se os estimadores são viciados para \theta.
(b) Compare os EQM’s

Passo 1

Enunciado e dados que temos (o que a questão pede e o que é dado):
  • Temos uma única variável aleatória X com distribuição Bernoulli de parâmetro \theta. Logo X\in\{0,1\}.
  • Dois estimadores de \theta são propostos:
    • \hat{\theta}_1 = X.
    • \hat{\theta}_2 = \dfrac{1}{2} (constante).
  • Perguntas:
    (a) Verificar se cada estimador é viciado (bias) para \theta.
    (b) Comparar os EQM’s (erro quadrático médio, MSE) dos dois estimadores.

Passo 2

Lembrete rápido (aula mini) sobre momentos da Bernoulli — vamos deduzir esperança e variância de X porque vamos precisar:
  • Definição: se X\sim Bernoulli (\theta), então \mathbb{P}(X=1)=\theta e \mathbb{P}(X=0)=1-\theta.
  • Esperança: \mathbb{E}[X] = 1\cdot\theta + 0\cdot(1-\theta) = \theta.Explicação: a esperança é uma média ponderada dos valores possíveis pelo suas probabilidades.
  • Variância: \operatorname{Var}(X)=\mathbb{E}[X^2]-(\mathbb{E}[X])^2.Como X^2=X quando X\in\{0,1\}, temos \mathbb{E}[X^2]=\mathbb{E}[X]=\theta. Assim \operatorname{Var}(X)=\theta-\theta^2=\theta(1-\theta).Intuição: variância mede dispersão; para Bernoulli é máxima em \theta=\tfrac{1}{2}.

Passo 3

Definição de viés (bias) e como calcular:
  • Viés de um estimador \hat{\theta} é \operatorname{Bias}(\hat{\theta})=\mathbb{E}[\hat{\theta}]-\theta.
  • Vamos calcular para cada estimador.
Para \hat{\theta}_1=X:
\operatorname{Bias}(\hat{\theta}_1)=\mathbb{E}[X]-\theta=\theta-\theta=0.
Conclusão: \hat{\theta}_1 é não-viciado (unbiased).
Para \hat{\theta}_2=\dfrac{1}{2} (constante):
\operatorname{Bias}(\hat{\theta}_2)=\mathbb{E}\!\left[\tfrac{1}{2}\right]-\theta=\tfrac{1}{2}-\theta.
Conclusão: \hat{\theta}_2 é viciado, salvo no caso especial \theta=\tfrac{1}{2} em que o viés é zero.

Passo 4

Definição e fórmula útil do EQM (MSE):
  • Por definição o EQM (MSE) é \operatorname{MSE}(\hat{\theta})=\mathbb{E}\big[(\hat{\theta}-\theta)^2\big].
  • Identidade importante (muito usada em provas): \operatorname{MSE}(\hat{\theta})=\operatorname{Var}(\hat{\theta})+\big(\operatorname{Bias}(\hat{\theta})\big)^2.Prova curta: expandindo \mathbb{E}[(\hat{\theta}-\theta)^2] e usando \mathbb{E}[\hat{\theta}]=\theta+\operatorname{Bias} obtém-se essa decomposição. Intuição: MSE mistura variância (aleatoriedade) e viés (erro sistemático).

Passo 5

Calcular \operatorname{MSE} de \hat{\theta}_1:
  • Já temos \operatorname{Var}(\hat{\theta}_1)=\operatorname{Var}(X)=\theta(1-\theta).
  • Viés é zero, então \operatorname{MSE}(\hat{\theta}_1)=\theta(1-\theta).
Explicação: como é não-viciado, o MSE é só a variância.

Passo 6

Calcular \operatorname{MSE} de \hat{\theta}_2:
  • \hat{\theta}_2 é constante, logo \operatorname{Var}(\hat{\theta}_2)=0.
  • Viés \operatorname{Bias}(\hat{\theta}_2)=\tfrac{1}{2}-\theta.
  • Assim \operatorname{MSE}(\hat{\theta}_2)=0+\big(\tfrac{1}{2}-\theta\big)^2=\big(\tfrac{1}{2}-\theta\big)^2.

Passo 7

Comparação dos EQM’s — análise algébrica para ver quando um é menor que o outro:
  • Defina a diferença D=\operatorname{MSE}(\hat{\theta}_1)-\operatorname{MSE}(\hat{\theta}_2)=\theta(1-\theta)-\big(\tfrac{1}{2}-\theta\big)^2.
  • Vamos simplificar D. Primeiro calcule \big(\tfrac{1}{2}-\theta\big)^2=\theta^2-\theta+\tfrac{1}{4}. Então D=\theta-\theta^2-(\theta^2-\theta+\tfrac{1}{4})=2\theta-2\theta^2-\tfrac{1}{4}.Agora reescrevendo em forma de quadrado: D=\tfrac{1}{4}-2\big(\theta-\tfrac{1}{2}\big)^2.(verifique substituindo \theta=\tfrac{1}{2} obtém D=\tfrac{1}{4}, que bate com os valores numéricos.)
  • Queremos saber quando \operatorname{MSE}(\hat{\theta}_1)\le \operatorname{MSE}(\hat{\theta}_2), isto é D\le 0. Da expressão: \tfrac{1}{4}-2\big(\theta-\tfrac{1}{2}\big)^2\le 0implica \big(\theta-\tfrac{1}{2}\big)^2 \ge \tfrac{1}{8}.Tomando raiz, |\theta-\tfrac{1}{2}|\ge \tfrac{1}{2\sqrt{2}} \approx 0,3536.
  • Interpretação: se \theta estiver suficientemente longe de \tfrac{1}{2} (ou seja, distância maior ou igual a \tfrac{1}{2\sqrt{2}}), então \hat{\theta}_1 (que é X) tem menor ou igual MSE e portanto é preferível no critério MSE. Se \theta estiver mais próximo de \tfrac{1}{2} (distância menor que \tfrac{1}{2\sqrt{2}}), então a constante \tfrac{1}{2} tem MSE menor — curiosamente, apesar de viesada, a constante vence por reduzir a variância a zero quando \theta está perto de \tfrac{1}{2}.

Passo 8

Exemplos numéricos para fixar a intuição:
  • Se \theta=0{,}1: \operatorname{MSE}(\hat{\theta}_1)=0{,}1\cdot0{,}9=0{,}09,\qquad \operatorname{MSE}(\hat{\theta}_2)=(0{,}5-0{,}1)^2=0{,}16.Aqui \hat{\theta}_1 é melhor.
  • Se \theta=0{,}5: \operatorname{MSE}(\hat{\theta}_1)=0{,}25,\qquad \operatorname{MSE}(\hat{\theta}_2)=0.Aqui \hat{\theta}_2 é melhor (é perfeita).
  • Se \theta=0{,}8: \operatorname{MSE}(\hat{\theta}_1)=0{,}8\cdot0{,}2=0{,}16,\qquad \operatorname{MSE}(\hat{\theta}_2)=(0{,}5-0{,}8)^2=0{,}09.Aqui \hat{\theta}_2 é melhor (porque 0{,}8 está a 0{,}3 de 0{,}5, que é menor que 0{,}3536? na verdade 0,3<0,3536 então sim \hat{\theta}_2 melhor).

Passo 9

Resumo conceitual e dica para prova (ânimo!):
  • \hat{\theta}_1=X é não-viciado e tem MSE igual à sua variância \theta(1-\theta).
  • \hat{\theta}_2=\tfrac{1}{2} é viciado (salvo \theta=\tfrac{1}{2}) e tem MSE (\tfrac{1}{2}-\theta)^2.
  • Em termos de MSE, nenhum dominador global: qual é melhor depende de \theta. A condição crítica é |\theta-\tfrac{1}{2}|\ge \tfrac{1}{2\sqrt{2}} (então \hat{\theta}_1 ganha) ou o contrário (então \hat{\theta}_2 ganha).
  • Força aí — na prova, calcule bias e MSE via \operatorname{MSE}=\operatorname{Var}+{\rm bias}^2; muitas questões pedem exatamente esse raciocínio.

Resposta

(a) \hat{\theta}_1 é não-viciado (viés 0). \hat{\theta}_2 é viciado, com viés \tfrac{1}{2}-\theta.
(b) \operatorname{MSE}(\hat{\theta}_1)=\theta(1-\theta). \operatorname{MSE}(\hat{\theta}_2)=(\tfrac{1}{2}-\theta)^2. \hat{\theta}_1 tem menor ou igual MSE quando |\theta-\tfrac{1}{2}|\ge \tfrac{1}{2\sqrt{2}} (caso contrário \hat{\theta}_2 tem MSE menor).

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