Os parâmetros de um oscilador são m=0,20 \mathrm{~kg} e k=20 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. As condições iniciais são x_{0}=+0,10 m, v_{0}=0.
a) Determinar a amplitude, a fase inicial, o período, a frequência, a frequência angular, os valores máximos (módulos) da velocidade e da aceleração;
b) Determinar os valores de fase em t=0,10 \mathrm{~s}, t=0,20 \mathrm{~s}, t=0,30 \mathrm{~s}, t=0,40 \mathrm{~s}, t=0,63 \mathrm{~s}
c) Escreva as expresões da posição, da velocidade, da aceleração, em função do tempo; s?
d) Determinar os valores da posição, da velocidade, da aceleração nos instantes indicados no ítem b);
e) Construa os gráficos (x, t),(\dot{x}, t),(\ddot{x}, t) para um período.

Passo 1

O enunciado dá um oscilador massa-mola com massa m=0,20\\ \mathrm{kg}, constante elástica k=20\\ \mathrm{N/m} e condições iniciais x(0)=x_{0}=+0,10\\ \mathrm{m}, \dot x(0)=v_{0}=0. É um Movimento Harmônico Simples (MHS), cuja solução se escreve
x(t)=A\cos\bigl(\omega t+\varphi\bigr).
Precisamos achar a amplitude A, fase inicial \varphi, período T, frequência f, pulsação \omega, velocidades e acelerações máximas, valores de fase em certos instantes, as expressões completas x(t), \dot x(t), \ddot x(t), os respectivos valores numéricos naqueles instantes e, por fim, esboçar os gráficos.

Passo 2

Calcular a pulsação natural \omega, o período T e a frequência f.
\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{20}{0,20}}=\sqrt{100}=10\\ \mathrm{rad/s},
T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{10}=0,6283\\ \mathrm{s},
f=\frac{1}{T}=\frac{1}{0,6283}=1,5915\\ \mathrm{Hz}.

Passo 3

Usar x(0)=A\cos\varphi=0,10 e \dot x(0)=-A\omega\sin\varphi=0. Da segunda equação segue \sin\varphi=0\implies\varphi=0 ou \pi. Como \cos\varphi deve ser positivo ( x_{0}>0), escolhemos \varphi=0. Logo
A\cos0=0,10\implies A=0,10\\ \mathrm{m},\quad\varphi=0.

Passo 4

Velocidade máxima em MHS é v_{\max}=A\,\omega e aceleração máxima |a|_{\max}=A\,\omega^{2}.
v_{\max}=0,10\times10=1,0\\ \mathrm{m/s},
|a|_{\max}=0,10\times10^{2}=10\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 5

A fase geral é \varphi(t)=\omega t+\varphi=10\,t. Nos instantes
t=0,10;\;0,20;\;0,30;\;0,40;\;0,63\\ \mathrm{s}
temos
\varphi(0,10)=10\times0,10=1,0\\ \mathrm{rad},\quad \varphi(0,20)=2,0\\ \mathrm{rad},\quad \varphi(0,30)=3,0\\ \mathrm{rad},
\varphi(0,40)=4,0\\ \mathrm{rad},\quad \varphi(0,63)=10\times0,63=6,3\\ \mathrm{rad}.

Passo 6

Escrevendo as três funções:
x(t)=0,10\cos(10\,t),
\dot x(t)=-0,10\times10\sin(10\,t)=-1,0\sin(10\,t),
\ddot x(t)=-0,10\times10^{2}\cos(10\,t)=-10\cos(10\,t).

Passo 7

Avaliar x,\dot x,\ddot x nos instantes do passo 5:
t = 0,10 s ( \varphi=1,0 rad):
x=0,10\cos1,0=0,0540\\ \mathrm{m},\quad \dot x=-1,0\sin1,0=-0,8415\\ \mathrm{m/s},\quad \ddot x=-10\cos1,0=-5,403\\ \mathrm{m/s^{2}}.
t = 0,20 s ( \varphi=2,0 rad):
x=0,10\cos2,0=-0,0416\\ \mathrm{m},\quad \dot x=-1,0\sin2,0=-0,9093\\ \mathrm{m/s},\quad \ddot x=-10\cos2,0=4,161\\ \mathrm{m/s^{2}}.
t = 0,30 s ( \varphi=3,0 rad):
x=0,10\cos3,0=-0,0990\\ \mathrm{m},\quad \dot x=-1,0\sin3,0=-0,1411\\ \mathrm{m/s},\quad \ddot x=-10\cos3,0=9,900\\ \mathrm{m/s^{2}}.
t = 0,40 s ( \varphi=4,0 rad):
x=0,10\cos4,0=-0,0654\\ \mathrm{m},\quad \dot x=-1,0\sin4,0=0,7568\\ \mathrm{m/s},\quad \ddot x=-10\cos4,0=6,536\\ \mathrm{m/s^{2}}.
t = 0,63 s ( \varphi=6,3 rad):
x=0,10\cos6,3=0,1000\\ \mathrm{m},\quad \dot x=-1,0\sin6,3=-0,0168\\ \mathrm{m/s},\quad \ddot x=-10\cos6,3=-9,999\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 8

Esboço qualitativo dos gráficos em 0\le t\le T=0,6283\\ \mathrm{s}:
x(t)=0,10\cos(10t): começa em +0,10, cruza zero em t=T/4\approx0,157, vai a -0,10 em t=T/2, volta a +0,10 em t=T.
\dot x(t)=-1,0\sin(10t): é senóide que começa em zero descendo a -1,0 em T/4, cruza zero em T/2, vai a +1,0 em 3T/4, etc.
\ddot x(t)=-10\cos(10t): cóseno invertido de amplitude 10, começa em -10, passa por 0 em T/4, atinge +10 em T/2, retornando a -10 em T.

Resposta

a)
Amplitude A=0,10\\ \mathrm{m}, fase inicial \varphi=0, período T=0,6283\\ \mathrm{s}, frequência f=1,5915\\ \mathrm{Hz}, pulsação \omega=10\\ \mathrm{rad/s}, velocidade máxima v_{\max}=1,0\\ \mathrm{m/s}, aceleração máxima |a|_{\max}=10\\ \mathrm{m/s^{2}}.
b)
\varphi(0,10)=1,0\\ \mathrm{rad},\;\varphi(0,20)=2,0\\ \mathrm{rad},\;\varphi(0,30)=3,0\\ \mathrm{rad},\;\varphi(0,40)=4,0\\ \mathrm{rad},\;\varphi(0,63)=6,3\\ \mathrm{rad}.
c)
x(t)=0,10\cos(10\,t),\quad \dot x(t)=-1,0\sin(10\,t),\quad \ddot x(t)=-10\cos(10\,t).
d)
Em t=0,10 s: x=0,0540\\ \mathrm{m}, \dot x=-0,8415\\ \mathrm{m/s}, \ddot x=-5,403\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Em t=0,20 s: x=-0,0416\\ \mathrm{m}, \dot x=-0,9093\\ \mathrm{m/s}, \ddot x=4,161\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Em t=0,30 s: x=-0,0990\\ \mathrm{m}, \dot x=-0,1411\\ \mathrm{m/s}, \ddot x=9,900\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Em t=0,40 s: x=-0,0654\\ \mathrm{m}, \dot x=0,7568\\ \mathrm{m/s}, \ddot x=6,536\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Em t=0,63 s: x=0,1000\\ \mathrm{m}, \dot x=-0,0168\\ \mathrm{m/s}, \ddot x=-9,999\\ \mathrm{m/s^{2}}.
e)
Gráficos qualitativos de x(t), \dot x(t) e \ddot x(t) no intervalo [0,T] descritos no Passo 8.

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