Determine a energia total instantânea e a energia total média de um corpo que sofre oscilações harmônicas forçadas.

Passo 1

O corpo de massa m está ligado a uma mola de constante elástica k e é submetido a uma força externa periódica de frequência \omega. Em regime permanente (já descartados os transientes), a solução é
x(t)=A\cos\bigl(\omega t - \delta\bigr),
onde A é a amplitude forçada e \delta o defasamento. Para achar a energia total instantânea usaremos
E(t)=T(t)+U(t),
com T=(1/2)m\dot x^2 e U=(1/2)k\,x^2.

Passo 2

Calculamos a velocidade:
\dot x(t)=-A\,\omega\sin\bigl(\omega t - \delta\bigr).
Logo, a energia cinética é
T(t)=\tfrac12\,m\,\bigl[-A\,\omega\sin(\omega t-\delta)\bigr]^2 =\tfrac12\,m\,A^2\,\omega^2\sin^2(\omega t-\delta),
e a energia potencial é
U(t)=\tfrac12\,k\bigl[A\cos(\omega t-\delta)\bigr]^2 =\tfrac12\,k\,A^2\cos^2(\omega t-\delta).
Somando, obtemos a energia total instantânea.

Passo 3

Para a energia média sobre um período T=2\pi/\omega, usamos
\langle\sin^2\rangle=\langle\cos^2\rangle=\tfrac12.
Então
\langle E\rangle =\bigl\langle\tfrac12\,mA^2\omega^2\sin^2(\omega t-\delta) +\tfrac12\,kA^2\cos^2(\omega t-\delta)\bigr\rangle =\tfrac14\,A^2\bigl(m\omega^2+k\bigr).

Resposta

E(t) =\tfrac12\,m\,A^2\,\omega^2\sin^2\bigl(\omega t-\delta\bigr) +\tfrac12\,k\,A^2\cos^2\bigl(\omega t-\delta\bigr),
\langle E\rangle =\tfrac14\,A^2\bigl(m\,\omega^2 + k\bigr).

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