3.114 Um binário de intensidade
e três forças mostradas são aplicadas em um suporte angular. (a) Determine a resultante do sistema de forças. (b) Localize o ponto em que a linha de ação da resultante intercepta a linha
e a linha
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) Determinar a resultante do sistema formado por três forças (mostradas numa figura) e por um binário (momento) de intensidade .
(b) Localizar o ponto onde a linha de ação da resultante intercepta a linha e a linha
.
(a) Determinar a resultante do sistema formado por três forças (mostradas numa figura) e por um binário (momento) de intensidade
(b) Localizar o ponto onde a linha de ação da resultante intercepta a linha
Informações dadas no enunciado que eu tenho:
(o binário).
Informações que o enunciado menciona mas que dependem da figura (e que NÃO foram fornecidas aqui): as três forças mostradas — isto é, as magnitudes de cada força, suas direções, e os pontos de aplicação — e a geometria do suporte angular (posições/coordenas de ,
,
e a orientação das linhas
e
).
Informações que o enunciado menciona mas que dependem da figura (e que NÃO foram fornecidas aqui): as três forças mostradas — isto é, as magnitudes de cada força, suas direções, e os pontos de aplicação — e a geometria do suporte angular (posições/coordenas de
Como a resolução numérica exige as magnitudes, direções e pontos de aplicação das forças e as posições de
, e essa figura/dados não foram enviados, não é possível obter valores numéricos finais. Nos passos seguintes eu vou explicar, passo a passo e de forma didática, o método completo que você deve aplicar assim que tiver os dados (ou a figura). Vou também mostrar as fórmulas e um exemplo ilustrativo com valores fictícios para você entender como fazer na prova.
Passo 2
Conceito básico e objetivo do método (o que vamos calcular na prova):
- A resultante vetorial
do sistema de forças é a soma vetorial das três forças:
Aqui cada
deve ser escrita em componentes (por exemplo,
num plano).
- O momento resultante em torno de um ponto de referência
é a soma dos momentos das forças em relação a mais o momento do binário:
onde
é o vetor posição do ponto de aplicação da
em relação a
, e
é o binário dado (
). Em 2D o produto vetorial
é um escalar: se
e
, então
- Se
, o sistema de forças e o binário podem ser reduzidos a uma única força resultante cujo efeito, em relação a um ponto , é representado por aplicado em um ponto cuja distância perpendicular a satisfaz , onde e é a distância perpendicular da linha de ação da resultante até .
Passo 3
Passo a passo prático para calcular a resultante numa prova (sem números ainda):
- Escolha um sistema de eixos conveniente (por exemplo, eixo
horizontal para a direção AB e eixo vertical), e escolha um ponto de referência (um bom ponto é porque pedem interseção com e ). - Para cada força
: escreva suas componentes . Se a força estiver dada por magnitude e ângulo , use
- Calcule a resultante em componentes:
- Calcule a magnitude da resultante:
- Calcule o momento resultante em torno do ponto de referência
(por exemplo ):
onde
são as coordenadas do ponto de aplicação de
medidas a partir de
; o termo
é o binário dado com sinal adequado (convenção: momentos positivos saem do plano, escolha a convenção e mantenha-a).
Passo 4
Como localizar a linha de ação da resultante e o ponto de interseção com
e
(método algébrico direto):
- Seja
o vetor posição de um ponto genérico sobre a linha . Podemos escrever
onde
é a posição de um ponto conhecido em
(p.ex.
),
é o versor (vetor unitário) ao longo de
e
é um parâmetro escalar.
- Se a linha de ação da resultante passa por
, então o momento total das forças e do binário em relação a deve ser zero (porque uma força aplicada exatamente em produz momento zero em ). Logo:
ou seja
onde
é o momento total calculado em algum ponto
fixo (p.ex.
). Substituindo
obtemos
- Isolando
:
Esse
dá a posição do ponto de interseção com
medida a partir de
na direção de
. Em 2D, o produto vetorial entre dois vetores
é o escalar
.
- Procedimento análogo para a linha
: use e calcule
- Observações importantes:
- Se
(denominador zero), então é paralelo a . Então a resultante é paralela a e pode ou não coincidir com : se o numerador também for zero, a linha de ação coincide com (infinitos pontos de interseção ao longo de ); se o numerador for diferente de zero, a resultante é paralela a e não a intercepta. - Mesma lógica vale para
.
- Se
Passo 5
Interpretação geométrica e signo dos momentos (como fazer sem errar no caderno):
- Ao calcular momentos em 2D, adote uma convenção: momentos positivos no sentido anti-horário (ou horário), e mantenha-a. No cálculo
essa convenção é usada para o determinante do momento escalar. - O valor
usado nas fórmulas é o momento total das forças e do binário em relação ao mesmo ponto usado para calcular e . Usar normalmente simplifica a interseção com , porque . - Depois de encontrar
e , as coordenadas dos pontos de interseção são simplesmente e .
Passo 6
Exemplo numérico ilustrativo (valores fictícios) — para consolidar a técnica:
Suponha três forças (apenas exemplo): aplic. em
,
aplic. em
,
aplic. em
, e binário
. (isto é só um exemplo; NÃO é a sua questão — uso só para mostrar cálculo.)
Suponha três forças (apenas exemplo):
- Calcular
:
- Calcular
em :
- Para achar interseção com uma linha horizontal
(tomando e ), aplicamos a fórmula do passo 4:
Substituindo
obtemos
. Assim o ponto de interseção estaria a
de
na direção de
. (Isto é só ilustração de como usar as fórmulas.)
Passo 7
Resumo do procedimento que você fará na prova (checklist para não esquecer):
- Identificar e anotar coordenadas de cada ponto de aplicação (em relação a
escolhido). - Resolver cada força em componentes
. - Somar componentes para obter
e . - Calcular momentos em torno de
: . - Para achar interseção com
e : usar
- Verificar casos especiais (denominador zero → resultante paralela à linha).
- Escrever resultados com unidade e verificar sinais.
Passo 8
Por que eu não dei o resultado numérico do seu exercício:
- A sua questão descreve “três forças mostradas” e um suporte com linhas
e , mas a figura com as forças (magnitudes, direções, pontos de aplicação) e as coordenadas ou orientação de não foi enviada. Sem esses dados numéricos/geométricos é impossível calcular e, consequentemente, não dá para obter as coordenadas dos pontos de interseção. - Portanto, não inventei valores e não realizei cálculo numérico do seu caso específico.
Passo 9
O que eu preciso que você forneça (se quiser que eu calcule tudo numericamente):
- A figura ou os dados: para cada força
informe a magnitude , a direção (por ângulo ou componente) e as coordenadas do ponto de aplicação em relação a um ponto de referência (por exemplo ou um sistema de eixos). - As coordenadas de
, e (ou a orientação das linhas e ). - Confirme o sinal/convenção do binário
(por exemplo, positivo = anti-horário).
Se você enviar esses dados (ou a figura legível), eu aplico exatamente os passos acima e apresento a resolução detalhada com números, desenho e os pontos de interseção.
Resposta
(a) Não é possível determinar numericamente a resultante porque a figura com as três forças (magnitudes, direções e pontos de aplicação) e a geometria das linhas
e
não foi fornecida.
(b) Não é possível localizar numericamente as interseções com e
pelas mesmas razões acima; para localizá-las é necessário conhecer as posições de aplicação das forças e as direções de
e
.
(b) Não é possível localizar numericamente as interseções com