Uma parede composta é formada por três camadas em série:
Camada 1: \mathrm{L}=0,05 \mathrm{~m}, \mathrm{k}=0,7 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K}
Camada 2: \mathrm{L}=0,10 \mathrm{~m}, \mathrm{k}=1,4 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K}
Camada 3: \mathrm{L}=0,08 \mathrm{~m}, \mathrm{k}=0,9 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K}
As temperaturas nas superfícies externa e interna são 45^{\circ} \mathrm{C} e 5{ }^{\circ} \mathrm{C}.
a) Represente o circuito térmico equivalente.
b) Determine o fluxo de calor em regime permanente.

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede, listando todos os dados numéricos (peguei estes valores do enunciado).
Dados:
  • Camada 1: L_1=0,05\\ \mathrm{m}, k_1=0,7\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}.
  • Camada 2: L_2=0,10\\ \mathrm{m}, k_2=1,4\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}.
  • Camada 3: L_3=0,08\\ \mathrm{m}, k_3=0,9\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}.
  • Temperaturas nas superfícies: T_{\text{ext}}=45^\circ\mathrm{C} e T_{\text{int}}=5^\circ\mathrm{C}.
O enunciado pede:
a) Representar o circuito térmico equivalente.
b) Determinar o fluxo de calor em regime permanente.
Observação importante (necessária para resolver a parte b): o enunciado não fornece a área da parede. Portanto não é possível calcular o fluxo de calor total (em \mathrm{W}) sem essa área. O que se pode calcular unicamente com os dados fornecidos é o fluxo de calor por unidade de área (densidade de fluxo de calor), isto é, q'' em \mathrm{W}/\mathrm{m}^2. Vou calcular q''. Se depois quiser o fluxo total \dot{Q} basta multiplicar q'' por A.

Passo 2

Explicação conceitual e fórmulas básicas (mini-aula): condução estacionária unidimensional e resistência térmica.
  • Em regime permanente e fluxo unidimensional através de camadas em série, o fluxo de calor por unidade de área q'' é o mesmo em todas as camadas. A lei de Fourier para condução unidimensional, em forma útil para camadas homogêneas, dá a queda de temperatura através de uma camada como:
\Delta T_i = q''\,R_i'',
onde:
  • q'' é o fluxo de calor por unidade de área ( \mathrm{W}/\mathrm{m}^2),
  • R_i'' é a resistência térmica da camada por unidade de área (unidade \mathrm{m}^2\mathrm{K}/\mathrm{W}),
  • \Delta T_i é a diferença de temperatura através da camada i.
  • Para uma camada homogênea de espessura L_i e condutividade térmica k_i, a resistência por unidade de área é:
R_i''=\dfrac{L_i}{k_i}.
(Se tivéssemos área A e quiséssemos a resistência total, usaríamos R_i=L_i/(k_i A); como não temos A, trabalhamos por unidade de área.)
  • Para camadas em série as resistências por unidade de área somam:
R_{\text{tot}}''=R_1''+R_2''+R_3''.
  • O fluxo por unidade de área é então dado por:
q''=\dfrac{T_{\text{ext}}-T_{\text{int}}}{R_{\text{tot}}''}.
Aqui T_{\text{ext}}-T_{\text{int}} é a diferença de temperatura total (em K, mas diferença em °C e K é numericamente a mesma).
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo com os números dados.

Passo 3

Representação do circuito térmico equivalente (resumindo a correspondência entre circuito e parede).
  • O circuito térmico é análogo a um circuito elétrico série: as três camadas correspondem a três resistências térmicas em série entre dois nós de temperatura. Em palavras:
    • Nó quente: T_{\text{ext}}=45^\circ\mathrm{C}.
    • Após a resistência R_1'' (camada 1) aparece a temperatura de interface entre as camadas 1 e 2.
    • Após a resistência R_2'' (camada 2) aparece a temperatura de interface entre as camadas 2 e 3.
    • Após a resistência R_3'' (camada 3) chega-se a T_{\text{int}}=5^\circ\mathrm{C}.
    • O “corrente” no circuito térmico é o fluxo de calor por unidade de área q'', que é o mesmo através de todas as resistências em série.
Em notação compacta (texto com as variáveis):
T_{\text{ext}}\;-\;R_1''\;-\;R_2''\;-\;R_3''\;-\;T_{\text{int}},
com corrente térmica q'' atravessando todas as resistências. (Isto responde a letra a).)

Passo 4

Cálculo das resistências por unidade de área de cada camada e interpretação das unidades.
Usando R_i''=L_i/k_i:
  • Para a camada 1:
R_1''=\dfrac{L_1}{k_1}=\dfrac{0,05}{0,7}=0,071428571\ldots\\ \mathrm{m}^2\mathrm{K}/\mathrm{W}.
Observação: 0,05/0,7=1/14, portanto a dízima periódica 0,071428571\ldots.
  • Para a camada 2:
R_2''=\dfrac{L_2}{k_2}=\dfrac{0,10}{1,4}=0,071428571\ldots\\ \mathrm{m}^2\mathrm{K}/\mathrm{W}.
(Mesmo valor numérico que R_1'' porque 0,10/1,4=(0,05/0,7).)
  • Para a camada 3:
R_3''=\dfrac{L_3}{k_3}=\dfrac{0,08}{0,9}=0,088888888\ldots\\ \mathrm{m}^2\mathrm{K}/\mathrm{W}.
(Nota: 0,08/0,9=8/90=4/45.)

Passo 5

Soma das resistências e cálculo do fluxo por unidade de área q''.
  • Resistência total por unidade de área:
R_{\text{tot}}''=R_1''+R_2''+R_3''=0,071428571\ldots+0,071428571\ldots+0,088888888\ldots
R_{\text{tot}}''\approx 0,231746032\\ \mathrm{m}^2\mathrm{K}/\mathrm{W}.
  • Diferença de temperatura total:
\Delta T = T_{\text{ext}}-T_{\text{int}}=45^\circ\mathrm{C}-5^\circ\mathrm{C}=40\\ \mathrm{K}.
  • Fluxo de calor por unidade de área:
q''=\dfrac{\Delta T}{R_{\text{tot}}''}=\dfrac{40}{0,231746032}\approx 172,5888\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
Arredondando de forma razoável:
q''\approx 172,6\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
Lembrete: se for desejado o fluxo total \dot{Q} em \mathrm{W}, usar \dot{Q}=q''\cdot A (necessário fornecer A).

Passo 6

Verificação adicional e interpretação (bom para entender na prova): quedas de temperatura em cada camada e temperaturas nas interfaces.
  • Queda de temperatura na camada 1:
\Delta T_1 = q''\,R_1'' \approx 172,5888\times 0,071428571 \approx 12,3149\\ \mathrm{K}.
  • Queda de temperatura na camada 2:
\Delta T_2 = q''\,R_2'' \approx 12,3149\\ \mathrm{K}\quad(\text{mesmo valor que }\Delta T_1).
  • Queda de temperatura na camada 3:
\Delta T_3 = q''\,R_3'' \approx 172,5888\times 0,088888888 \approx 15,3702\\ \mathrm{K}.
Checagem: \Delta T_1+\Delta T_2+\Delta T_3\approx 12,3149+12,3149+15,3702=40{,}0000\\ \mathrm{K}, que coincide com a diferença total 40\\ \mathrm{K}.
  • Temperaturas nas interfaces (a partir de T_{\text{ext}}=45^\circ\mathrm{C}):
    • Temperatura entre camada 1 e 2:
    T_{1/2}=T_{\text{ext}}-\Delta T_1\approx 45-12,3149\approx 32,6851^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura entre camada 2 e 3:
    T_{2/3}=T_{1/2}-\Delta T_2\approx 32,6851-12,3149\approx 20,3702^\circ\mathrm{C}.
    • Internamente chega-se a T_{\text{int}}=5^\circ\mathrm{C} após \Delta T_3.
Esses cálculos extras ajudam a entender como a diferença de temperatura se distribui entre as camadas (útil para questões de prova que peçam temperaturas de interface).

Resposta

(a) Circuito térmico equivalente: três resistências térmicas em série entre T_{\text{ext}}=45^\circ\mathrm{C} e T_{\text{int}}=5^\circ\mathrm{C}, isto é,
T_{\text{ext}}\;-\;R_1''\;-\;R_2''\;-\;R_3''\;-\;T_{\text{int}},
com corrente térmica q'' passando por todas elas (onde R_i''=L_i/k_i).
(b) Fluxo de calor por unidade de área:
q''\approx 172{,}6\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.

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