Uma parede composta é formada por três camadas em série:
Camada 1:
Camada 2:
Camada 3:
As temperaturas nas superfícies externa e interna são
e
.
a) Represente o circuito térmico equivalente.
b) Determine o fluxo de calor em regime permanente.
Camada 2:
Camada 3:
a) Represente o circuito térmico equivalente.
b) Determine o fluxo de calor em regime permanente.
Passo 1
Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede, listando todos os dados numéricos (peguei estes valores do enunciado).
Dados:
- Camada 1:
, . - Camada 2:
, . - Camada 3:
, . - Temperaturas nas superfícies:
e .
O enunciado pede:
a) Representar o circuito térmico equivalente.
b) Determinar o fluxo de calor em regime permanente.
a) Representar o circuito térmico equivalente.
b) Determinar o fluxo de calor em regime permanente.
Observação importante (necessária para resolver a parte b): o enunciado não fornece a área da parede. Portanto não é possível calcular o fluxo de calor total (em
) sem essa área. O que se pode calcular unicamente com os dados fornecidos é o fluxo de calor por unidade de área (densidade de fluxo de calor), isto é,
em
. Vou calcular
. Se depois quiser o fluxo total
basta multiplicar
por
.
Passo 2
Explicação conceitual e fórmulas básicas (mini-aula): condução estacionária unidimensional e resistência térmica.
- Em regime permanente e fluxo unidimensional através de camadas em série, o fluxo de calor por unidade de área
é o mesmo em todas as camadas. A lei de Fourier para condução unidimensional, em forma útil para camadas homogêneas, dá a queda de temperatura através de uma camada como:
onde:
-
é o fluxo de calor por unidade de área ( ), -
é a resistência térmica da camada por unidade de área (unidade ), -
é a diferença de temperatura através da camada . -
Para uma camada homogênea de espessura
e condutividade térmica , a resistência por unidade de área é:
(Se tivéssemos área
e quiséssemos a resistência total, usaríamos
; como não temos
, trabalhamos por unidade de área.)
- Para camadas em série as resistências por unidade de área somam:
- O fluxo por unidade de área é então dado por:
Aqui
é a diferença de temperatura total (em K, mas diferença em °C e K é numericamente a mesma).
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo com os números dados.
Passo 3
Representação do circuito térmico equivalente (resumindo a correspondência entre circuito e parede).
- O circuito térmico é análogo a um circuito elétrico série: as três camadas correspondem a três resistências térmicas em série entre dois nós de temperatura. Em palavras:
- Nó quente:
. - Após a resistência
(camada 1) aparece a temperatura de interface entre as camadas 1 e 2. - Após a resistência
(camada 2) aparece a temperatura de interface entre as camadas 2 e 3. - Após a resistência
(camada 3) chega-se a . - O “corrente” no circuito térmico é o fluxo de calor por unidade de área
, que é o mesmo através de todas as resistências em série.
- Nó quente:
Em notação compacta (texto com as variáveis):
com corrente térmica
atravessando todas as resistências. (Isto responde a letra a).)
Passo 4
Cálculo das resistências por unidade de área de cada camada e interpretação das unidades.
Usando
:
- Para a camada 1:
Observação:
, portanto a dízima periódica
.
- Para a camada 2:
(Mesmo valor numérico que
porque
.)
- Para a camada 3:
(Nota:
.)
Passo 5
Soma das resistências e cálculo do fluxo por unidade de área
.
- Resistência total por unidade de área:
- Diferença de temperatura total:
- Fluxo de calor por unidade de área:
Arredondando de forma razoável:
Lembrete: se for desejado o fluxo total
em
, usar
(necessário fornecer
).
Passo 6
Verificação adicional e interpretação (bom para entender na prova): quedas de temperatura em cada camada e temperaturas nas interfaces.
- Queda de temperatura na camada 1:
- Queda de temperatura na camada 2:
- Queda de temperatura na camada 3:
Checagem:
, que coincide com a diferença total
.
- Temperaturas nas interfaces (a partir de
): - Temperatura entre camada 1 e 2:
- Temperatura entre camada 2 e 3:
- Internamente chega-se a
após .
Esses cálculos extras ajudam a entender como a diferença de temperatura se distribui entre as camadas (útil para questões de prova que peçam temperaturas de interface).
Resposta
(a) Circuito térmico equivalente: três resistências térmicas em série entre
e
, isto é,
com corrente térmica
passando por todas elas (onde
).
(b) Fluxo de calor por unidade de área:
(b) Fluxo de calor por unidade de área: