(Valor da questão:
pontos) A superfície de um componente de aço macio geralmente é endurecida pela colocação do componente em um material carbonoso em um forno a uma temperatura elevada durante um tempo predeterminado. Considere tal componente com concentração inicial uniforme de carbono de
, em massa. O componente é, então, colocado no material carbonoso em um forno a alta temperatura. O coeficiente de difusão do carbono em aço na temperatura do forno é
, e a concentração de equilíbrio do carbono no ferro na interface é determinada a partir dos dados de equilíbrio como
. Determine quanto tempo o componente deverá ser mantido no forno para que a concentração de massa do carbono
abaixo da superfície chegue a
.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos um componente de aço com concentração inicial de carbono
(em massa). Ele é exposto a uma fonte rica em carbono de concentração de superfície
a uma temperatura fixa, de modo que a difusão do carbono obedece à lei de Fick em regime unidimensional semi-infinito. O coeficiente de difusão é
e queremos que, no ponto
, a concentração atinja
. Nosso objetivo é achar o tempo
.
Passo 2
A solução clássica para difusão unidimensional num meio semi-infinito com superfície mantida em concentração constante
e condição inicial
é
Queremos
. Substituindo em cima, definimos
Passo 3
Calculamos o quociente numérico
Logo temos
onde
Consultando uma tabela (ou usando expansão), obtemos
Passo 4
Da definição de
vem
Substituindo
,
e
,
Convertendo para horas,
Resposta
O componente deve ficar no forno por aproximadamente
horas para que a concentração a
atinja
.