(Valor da questão: \mathbf{2 5} pontos) A superfície de um componente de aço macio geralmente é endurecida pela colocação do componente em um material carbonoso em um forno a uma temperatura elevada durante um tempo predeterminado. Considere tal componente com concentração inicial uniforme de carbono de 0,15 \%, em massa. O componente é, então, colocado no material carbonoso em um forno a alta temperatura. O coeficiente de difusão do carbono em aço na temperatura do forno é 4,8 \times 10^{-10} \mathrm{~m}^{2} \cdot \mathrm{~s}^{-1}, e a concentração de equilíbrio do carbono no ferro na interface é determinada a partir dos dados de equilíbrio como 1,2 \%. Determine quanto tempo o componente deverá ser mantido no forno para que a concentração de massa do carbono 0,5 \mathrm{~mm} abaixo da superfície chegue a 1 \%.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um componente de aço com concentração inicial de carbono c_{0}=0,15\% (em massa). Ele é exposto a uma fonte rica em carbono de concentração de superfície c_{s}=1,2\% a uma temperatura fixa, de modo que a difusão do carbono obedece à lei de Fick em regime unidimensional semi-infinito. O coeficiente de difusão é
D = 4,8\times10^{-10}\,\mathrm{m}^2/\mathrm{s},
e queremos que, no ponto x=0{,}5\\ \mathrm{mm}=5\times10^{-4}\,\mathrm{m}, a concentração atinja c(x,t)=1,0\%. Nosso objetivo é achar o tempo t.

Passo 2

A solução clássica para difusão unidimensional num meio semi-infinito com superfície mantida em concentração constante c_{s} e condição inicial c_{0} é
c(x,t) = c_{s} \;-\;\bigl(c_{s}-c_{0}\bigr)\,\erf\!\Bigl(\frac{x}{2\sqrt{D\,t}}\Bigr).
Queremos c(x,t)=1,0\%. Substituindo em cima, definimos
\frac{c_{s}-c(x,t)}{c_{s}-c_{0}} =\erf\!\Bigl(\frac{x}{2\sqrt{D\,t}}\Bigr).

Passo 3

Calculamos o quociente numérico
\frac{c_{s}-c}{c_{s}-c_{0}} =\frac{1,2\%-1,0\%}{1,2\%-0,15\%} =\frac{0,20\%}{1,05\%} \approx0,19048.
Logo temos
\erf(\eta)=0,19048,
onde
\eta = \frac{x}{2\sqrt{D\,t}}.
Consultando uma tabela (ou usando expansão), obtemos
\eta = \erf^{-1}(0,19048)\approx0,17.

Passo 4

Da definição de \eta vem
\eta = \frac{x}{2\sqrt{D\,t}} \;\Longrightarrow\; t = \frac{x^{2}}{4\,D\,\eta^{2}}.
Substituindo x=5\times10^{-4}\,\mathrm{m}, D=4,8\times10^{-10}\,\mathrm{m}^2/\mathrm{s} e \eta=0,17,
t = \frac{(5\times10^{-4})^{2}}{4\,(4,8\times10^{-10})\,(0,17)^{2}} \approx4{,}5\times10^{3}\,\mathrm{s}.
Convertendo para horas,
4{,}5\times10^{3}\,\mathrm{s}\approx1{,}25\\ \mathrm{h}.

Resposta

O componente deve ficar no forno por aproximadamente 1{,}25 horas para que a concentração a 0{,}5\\ \mathrm{mm} atinja 1{,}0\%.

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