As paredes de uma câmara frigorifica sầo constituidas de uma placa de cortiça, de 10 cm de espessura, comprimida entre duas placas de madeira de 1,3 \mathrm{~cm} de espessura. Calcule o fluxo de calor, se a superficie interna estiver a -12^{\circ} \mathrm{C} e a superficie externa a 27^{\circ} \mathrm{C}. Calcule tambem a temperatura da interface entre a placa externa e a cortiça, Dados ( \mathrm{K}_{\text {conta, }}=0,0336 \mathrm{~W} /{ }^{\circ} \mathrm{C} e \mathrm{K}_{\text {madera }}=0,092 \mathrm{~W} /{ }^{\circ} \mathrm{C} ).

Passo 1

Aqui eu vou repetir com calma o que o enunciado nos deu e o que ele pede, para a gente não se perder no desespero (tamo junto!).
Dados fornecidos:
\text{espessura da cortiça } L_{\text{c}} = 0,10\\ \mathrm{m}ç
\text{espessura de cada placa de madeira } L_{\text{m}} = 0,013\\ \mathrm{m}
\text{condutividade térmica da cortiça } k_{\text{c}} = 0,0336\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot{}^\circ\mathrm{C})éç
\text{condutividade térmica da madeira } k_{\text{m}} = 0,092\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot{}^\circ\mathrm{C})é
\text{temperatura interna (superfície interna)}\\ T_{\text{i}} = -12^\circ\mathrm{C}í
\text{temperatura externa (superfície externa)}\\ T_{\text{e}} = 27^\circ\mathrm{C}í
O que o enunciado pede:
  1. Calcular o fluxo de calor através da parede composta (valor por unidade de área, já que não foi dada área).
  2. Calcular a temperatura da interface entre a placa externa de madeira e a cortiça (ou seja, a temperatura na superfície onde a madeira externa toca a cortiça).

Passo 2

Conceito e método que vamos usar (explicadinho passo a passo):
  • Em regime permanente e com condução unidimensional em camadas planas em série, o fluxo de calor por unidade de área q (em \mathrm{W}/\mathrm{m}^2) é dado por uma lei análoga à lei de Ohm: a diferença de temperatura dividida pela resistência térmica total:
q = \frac{T_{\text{int}} - T_{\text{ext}}}{R_{\text{tot}}}.
Aqui:
  • T_{\text{int}} é a temperatura da superfície interna (no nosso caso T_{\text{i}} = -12^\circ\mathrm{C});
  • T_{\text{ext}} é a temperatura da superfície externa (no nosso caso T_{\text{e}} = 27^\circ\mathrm{C});
  • R_{\text{tot}} é a resistência térmica total por unidade de área da parede (unidade \mathrm{m}^2\cdot{}^\circ\mathrm{C}/\mathrm{W}).
  • A resistência térmica por unidade de área de uma camada homogênea de espessura L e condutividade k é
R = \frac{L}{k}.
Explicando: quanto mais espesso L e quanto menor a condutividade k, maior a resistência e menor o fluxo.
  • Para camadas em série (madeira externa + cortiça + madeira interna) somamos as resistências:
R_{\text{tot}} = R_{\text{m,ext}} + R_{\text{c}} + R_{\text{m,int}}.
Como as duas placas de madeira têm a mesma espessura e condutividade, teremos R_{\text{m,ext}} = R_{\text{m,int}} = L_{\text{m}}/k_{\text{m}}.

Passo 3

Calcular cada resistência individualmente, com números (vou mostrar as contas passo a passo):
Resistência da cortiça:
R_{\text{c}} = \frac{L_{\text{c}}}{k_{\text{c}}} = \frac{0,10}{0,0336}\\ \mathrm{m}^2\cdot{}^\circ\mathrm{C}/\mathrm{W}.
Fazendo a divisão:
R_{\text{c}} \approx 2,97619\\ \mathrm{m}^2\cdot{}^\circ\mathrm{C}/\mathrm{W}.
Resistência de uma placa de madeira:
R_{\text{m}} = \frac{L_{\text{m}}}{k_{\text{m}}} = \frac{0,013}{0,092}\\ \mathrm{m}^2\cdot{}^\circ\mathrm{C}/\mathrm{W}.
Fazendo a divisão:
R_{\text{m}} \approx 0,14130\\ \mathrm{m}^2\cdot{}^\circ\mathrm{C}/\mathrm{W}.
Como há duas placas de madeira (externa e interna), a contribuição total da madeira é
2R_{\text{m}} \approx 2 \times 0,14130 = 0,28261\\ \mathrm{m}^2\cdot{}^\circ\mathrm{C}/\mathrm{W}.

Passo 4

Somar as resistências para obter R_{\text{tot}}:
R_{\text{tot}} = R_{\text{c}} + 2R_{\text{m}} \approx 2,97619 + 0,28261 = 3,25880\\ \mathrm{m}^2\cdot{}^\circ\mathrm{C}/\mathrm{W}.

Passo 5

Calcular o fluxo de calor por unidade de área usando a fórmula do Passo 2. Primeiro a diferença de temperatura (atenção ao sinal):
T_{\text{i}} - T_{\text{e}} = (-12) - 27 = -39\\ ^\circ\mathrm{C}.
Aplicando:
q = \frac{T_{\text{i}} - T_{\text{e}}}{R_{\text{tot}}} = \frac{-39}{3,25880}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
Fazendo a divisão:
q \approx -11,97\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
Interpretação do sinal: o valor negativo indica que o calor flui do exterior para o interior (ou seja, do lado mais quente 27^\circ\mathrm{C} para o lado mais frio -12^\circ\mathrm{C}). Se preferir o módulo (valor absoluto do fluxo), a densidade de fluxo é 11,97\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2 em direção ao interior.

Passo 6

Agora vamos achar a temperatura da interface entre a placa externa de madeira e a cortiça. Estratégia: calcular a queda de temperatura através da placa de madeira externa e subtrair isso da temperatura externa.
A queda de temperatura através de uma camada é
\Delta T_{\text{m}} = q \, R_{\text{m}}.
Usamos o fluxo com sinal para manter consistência. Tomando q \approx -11,97\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2 e R_{\text{m}} \approx 0,14130\\ \mathrm{m}^2\cdot{}^\circ\mathrm{C}/\mathrm{W}, temos:
\Delta T_{\text{m}} = (-11,97)\times 0,14130 \approx -1,692\\ ^\circ\mathrm{C}.
Isso significa que ao atravessar a placa de madeira do lado externo para a interface a temperatura diminui cerca de 1,692^\circ\mathrm{C}.
Logo, a temperatura na interface (entre madeira externa e cortiça) é
T_{\text{interface}} = T_{\text{e}} + \Delta T_{\text{m}} = 27 + (-1,692) \approx 25,31^\circ\mathrm{C}.
(Alternativamente, se você preferir raciocinar com o módulo do fluxo: subtrai-se Q\cdot R_{\text{m}} de 27^\circ\mathrm{C}, com Q=11,97\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2, dá o mesmo 25,31^\circ\mathrm{C}.)

Resposta

Fluxo de calor por unidade de área (módulo): 11,97\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2
Temperatura da interface madeira externa / cortiça: 25,31^\circ\mathrm{C}

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