Em uma parede estão fixos dois alto-falantes que emitem som com a mesma frequência, e estão separados por uma distância de
. Uma pessoa está a
de distância da parede, equidistante dos alto-falantes. Quando a pessoa se move
paralelamente à parede, ela experimenta interferência destrutiva pela segunda vez. Qual é a frequência do som?
Passo 1
Listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dois alto‑falantes fixos na parede, separados por
. - A pessoa está a
da parede, equidistante dos alto‑falantes (ou seja, inicialmente alinhada com o ponto médio entre eles). - A pessoa se move
paralelamente à parede (movimento lateral) e, ao chegar nessa posição, ela experimenta interferência destrutiva pela segunda vez desde o início do movimento. - O que se pede: a frequência do som emitido pelos alto‑falantes.
Dados extraídos e fixos para a resolução:
- Distância entre alto‑falantes:
. - Metade dessa separação (distância lateral do centro até cada alto‑falante):
. - Distância perpendicular da pessoa até a parede:
. - Deslocamento lateral da pessoa:
(medido desde a posição central). - A pessoa encontra a segunda interferência destrutiva ao alcançar
.
Passo 2
Entender o fenômeno de interferência e a condição para interferência destrutiva.
Quando duas fontes coerentes em fase emitem som, a condição de interferência destrutiva no ponto de observação é que a diferença de caminho entre as duas ondas seja um seminteiro ímpar de comprimentos de onda. Em fórmula:
onde:
-
é a diferença de distância entre o ouvinte e os dois alto‑falantes, -
é o comprimento de onda do som, -
é um inteiro que indexa os mínimos (o primeiro mínimo corresponde a , o segundo a , etc.).
Como o enunciado diz que a pessoa experimenta interferência destrutiva “pela segunda vez” ao chegar em
, isso corresponde ao segundo mínimo, portanto devemos usar
. Assim, no ponto
vale:
Passo 3
Expressar geometricamente as distâncias até os alto‑falantes e a diferença de percurso
.
Coloco um eixo horizontal paralelo à parede com origem no ponto médio entre os alto‑falantes; então os alto‑falantes estão em
e
com
. A pessoa, após mover‑se
para a direita, está na posição lateral
e a distância perpendicular até a parede é
.
As distâncias do ouvinte aos alto‑falantes são:
Para
e
temos
A diferença de caminho (módulo) é
Como a posição
está mais próxima do alto‑falante em
,
será o menor; por simplicidade tomamos
.
Passo 4
Calcular numericamente
,
e
em
.
Calcular os radicandos:
Agora as raízes:
Portanto
Passo 5
Relacionar
com
usando a condição do segundo mínimo e achar
.
Do Passo 2 sabemos que, para o segundo mínimo (
):
Isolando
:
Substituindo o valor numérico de
:
Passo 6
Calcular a frequência
a partir do comprimento de onda e da velocidade do som.
Para obter a frequência usamos a relação básica da onda sonora:
onde
é a velocidade do som no ar. Vou adotar a velocidade padrão aproximada em ar à temperatura ambiente:
Então
Passo 7
Interpretação rápida e verificação de plausibilidade.
O valor
está na faixa audível típica e é consistente com um comprimento de onda de cerca de
. Se fosse usado um valor levemente diferente para
(por exemplo
) o resultado mudaria pouco (ficaria perto de
), então a resposta é robusta frente a pequenas variações da velocidade do som.