Em uma parede estão fixos dois alto-falantes que emitem som com a mesma frequência, e estão separados por uma distância de 8,00 \mathrm{~m}. Uma pessoa está a 12,0 \mathrm{~m} de distância da parede, equidistante dos alto-falantes. Quando a pessoa se move 3,00 \mathrm{~m} paralelamente à parede, ela experimenta interferência destrutiva pela segunda vez. Qual é a frequência do som?

Passo 1

Listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dois alto‑falantes fixos na parede, separados por 8,00\\ \mathrm{m}.
  • A pessoa está a 12,0\\ \mathrm{m} da parede, equidistante dos alto‑falantes (ou seja, inicialmente alinhada com o ponto médio entre eles).
  • A pessoa se move 3,00\\ \mathrm{m} paralelamente à parede (movimento lateral) e, ao chegar nessa posição, ela experimenta interferência destrutiva pela segunda vez desde o início do movimento.
  • O que se pede: a frequência do som emitido pelos alto‑falantes.
Dados extraídos e fixos para a resolução:
  • Distância entre alto‑falantes: d = 8,00\\ \mathrm{m}.
  • Metade dessa separação (distância lateral do centro até cada alto‑falante): a = 4,00\\ \mathrm{m}.
  • Distância perpendicular da pessoa até a parede: L = 12,0\\ \mathrm{m}.
  • Deslocamento lateral da pessoa: x = 3,00\\ \mathrm{m} (medido desde a posição central).
  • A pessoa encontra a segunda interferência destrutiva ao alcançar x = 3,00\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Entender o fenômeno de interferência e a condição para interferência destrutiva.
Quando duas fontes coerentes em fase emitem som, a condição de interferência destrutiva no ponto de observação é que a diferença de caminho entre as duas ondas seja um seminteiro ímpar de comprimentos de onda. Em fórmula:
\Delta = \left(m+\tfrac{1}{2}\right)\lambda,
onde:
  • \Delta é a diferença de distância entre o ouvinte e os dois alto‑falantes,
  • \lambda é o comprimento de onda do som,
  • m é um inteiro m=0,1,2,\dots que indexa os mínimos (o primeiro mínimo corresponde a m=0, o segundo a m=1, etc.).
Como o enunciado diz que a pessoa experimenta interferência destrutiva “pela segunda vez” ao chegar em x=3,00\\ \mathrm{m}, isso corresponde ao segundo mínimo, portanto devemos usar m=1. Assim, no ponto x=3,00\\ \mathrm{m} vale:
\Delta(x=3{,}00\\ \mathrm{m}) = \left(1+\tfrac{1}{2}\right)\lambda = \tfrac{3}{2}\lambda.

Passo 3

Expressar geometricamente as distâncias até os alto‑falantes e a diferença de percurso \Delta.
Coloco um eixo horizontal paralelo à parede com origem no ponto médio entre os alto‑falantes; então os alto‑falantes estão em x=+a e x=-a com a=4{,}00\\ \mathrm{m}. A pessoa, após mover‑se x=3{,}00\\ \mathrm{m} para a direita, está na posição lateral x=3{,}00\\ \mathrm{m} e a distância perpendicular até a parede é L=12{,}0\\ \mathrm{m}.
As distâncias do ouvinte aos alto‑falantes são:
r_1 = \sqrt{(x-a)^2 + L^2},\qquad r_2 = \sqrt{(x+a)^2 + L^2}.
Para x=3{,}00\\ \mathrm{m} e a=4{,}00\\ \mathrm{m} temos
r_1 = \sqrt{(3{,}00-4{,}00)^2 + 12{,}0^2},\qquad r_2 = \sqrt{(3{,}00+4{,}00)^2 + 12{,}0^2}.
A diferença de caminho (módulo) é
\Delta = |r_2 - r_1|.
Como a posição x=3{,}00\\ \mathrm{m} está mais próxima do alto‑falante em x=+a, r_1 será o menor; por simplicidade tomamos \Delta = r_2 - r_1.

Passo 4

Calcular numericamente r_1, r_2 e \Delta em x=3{,}00\\ \mathrm{m}.
Calcular os radicandos:
(3{,}00+4{,}00)^2 + 12{,}0^2 = 7{,}00^2 + 12{,}0^2 = 49{,}0 + 144{,}0 = 193{,}0,
(3{,}00-4{,}00)^2 + 12{,}0^2 = (-1{,}00)^2 + 144{,}0 = 1{,}00 + 144{,}0 = 145{,}0.
Agora as raízes:
r_2 = \sqrt{193{,}0}\approx 13{,}892\ldots\\ \mathrm{m},
r_1 = \sqrt{145{,}0}\approx 12{,}041\ldots\\ \mathrm{m}.
Portanto
\Delta = r_2 - r_1 \approx 13{,}892\ldots - 12{,}041\ldots = 1{,}8508\ldots\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Relacionar \Delta com \lambda usando a condição do segundo mínimo e achar \lambda.
Do Passo 2 sabemos que, para o segundo mínimo ( m=1):
\Delta = \tfrac{3}{2}\lambda.
Isolando \lambda:
\lambda = \frac{2}{3}\,\Delta.
Substituindo o valor numérico de \Delta:
\lambda \approx \frac{2}{3}\times 1{,}8508\ldots = 1{,}2339\ldots\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Calcular a frequência f a partir do comprimento de onda e da velocidade do som.
Para obter a frequência usamos a relação básica da onda sonora:
f = \frac{v}{\lambda},
onde v é a velocidade do som no ar. Vou adotar a velocidade padrão aproximada em ar à temperatura ambiente:
v \approx 343\\ \mathrm{m/s}.
Então
f \approx \frac{343}{1{,}2339\ldots}\\ \mathrm{Hz} \approx 278{,}0\\ \mathrm{Hz}.

Passo 7

Interpretação rápida e verificação de plausibilidade.
O valor f\approx 278\\ \mathrm{Hz} está na faixa audível típica e é consistente com um comprimento de onda de cerca de 1{,}23\\ \mathrm{m}. Se fosse usado um valor levemente diferente para v (por exemplo 340\\ \mathrm{m/s}) o resultado mudaria pouco (ficaria perto de 275\\ \mathrm{Hz}), então a resposta é robusta frente a pequenas variações da velocidade do som.

Resposta

f \approx 2,78\times 10^{2}\\ \mathrm{Hz}

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