Duas ondas harmônicas que viajam em direções opostas interferem para produzir uma onda estacionária descrita por y=3 \operatorname{sen}(2 x) \cos (5 t) onde x está em m e t está em s. (a) Qual é o comprimento de onda da onda resultante ? (b) Supondo que a onda está em uma corda, determine os possíveis valores de seu comprimento.

Passo 1

O enunciado dá a forma da onda estacionária
y=3\operatorname{sen}(2x)\cos(5t),
com x em metros e t em segundos. Ele pede duas coisas:
(a) o comprimento de onda da onda resultante;
(b) supondo que a onda está numa corda, determinar os possíveis valores do comprimento dessa corda.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função espacial é \operatorname{sen}(2x), ou seja o argumento angular espacial é 2x.
  • A amplitude espacial (envelope) multiplicativa é 3, e a parte temporal é \cos(5t) (essa parte dá a frequência angular, mas não é necessária para (a) além de ilustrar \omega=5).

Passo 2

Entendendo a forma padrão de uma onda estacionária (aula curta e direta). Quando duas ondas harmônicas idênticas viajam em direções opostas, a superposição pode ser escrita como
y(x,t)=2A\operatorname{sen}(kx)\cos(\omega t),
onde:
  • A é a amplitude de cada onda progressiva (cada onda viajante), então 2A é a amplitude máxima do padrão estacionário nos antinodos;
  • k é o número de onda, medido em \mathrm{rad/m}, relacionado ao comprimento de onda \lambda por
k=\frac{2\pi}{\lambda};
  • \omega é a frequência angular, relacionada à frequência f por \omega=2\pi f.
Aqui a forma dada é y=3\operatorname{sen}(2x)\cos(5t). Comparando com a forma padrão vê-se que o fator que multiplica x dentro do seno é exatamente k. Portanto o número de onda é k=2\\ \mathrm{rad/m}. (Além disso, da comparação tem-se 2A=3, logo a amplitude de cada onda viajante seria A=1{,}5, caso isso interesse.)

Passo 3

Calcular o comprimento de onda a partir de k. Usar a relação
k=\frac{2\pi}{\lambda}.
Isolando \lambda obtemos
\lambda=\frac{2\pi}{k}.
Substituindo k=2 resulta
\lambda=\frac{2\pi}{2}=\pi.
Portanto o comprimento de onda é \lambda=\pi\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Agora a parte (b): ondas estacionárias numa corda com as extremidades fixas. Vou explicar o princípio que conecta \lambda e o comprimento da corda L.
Quando uma corda está fixa nas duas extremidades, os nós (lugares onde y=0 para todo t) ocorrem nas duas extremidades. Para que isso ocorra para um modo estacionário, o comprimento da corda precisa comportar um número inteiro de meios comprimentos de onda. A condição de contorno é
L=n\frac{\lambda}{2},
onde n é um número inteiro positivo ( n=1,2,3,\dots). Essa fórmula vem da observação de que entre dois nós consecutivos há exatamente meia onda, e entre as duas extremidades fixas deve haver um número inteiro de meias-ondas.

Passo 5

Aplicar a condição para os possíveis comprimentos usando o valor de \lambda encontrado. Substituindo \lambda=\pi em
L=n\frac{\lambda}{2}
temos
L=n\frac{\pi}{2},\qquad n=1,2,3,\dots
Ou seja, os comprimentos possíveis da corda são \dfrac{\pi}{2},\\ \pi,\\ \dfrac{3\pi}{2},\\ \ldots metros.

Passo 6

Recapitulando de forma prática e motivadora: o passo-chave foi identificar o número de onda k lendo o argumento do seno na expressão dada, usar k=2 para obter \lambda=\dfrac{2\pi}{k}=\pi e então aplicar a condição de modos estacionários numa corda fixa para concluir que os comprimentos permitidos são múltiplos inteiros de \dfrac{\lambda}{2}=\dfrac{\pi}{2}. Boa! Isso é exatamente o que costumam cobrar na prova — pegue o k direto da expressão espacial e aplique k=2\pi/\lambda.

Resposta

(a) \lambda=\pi\\ \mathrm{m}
(b) L=n\displaystyle\frac{\pi}{2}\\ \mathrm{m},\quad n=1,2,3,\dots

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