Duas ondas harmônicas que viajam em direções opostas interferem para produzir uma onda estacionária descrita por
onde
está em m e
está em s. (a) Qual é o comprimento de onda da onda resultante ? (b) Supondo que a onda está em uma corda, determine os possíveis valores de seu comprimento.
Passo 1
O enunciado dá a forma da onda estacionária
com
em metros e
em segundos. Ele pede duas coisas:
(a) o comprimento de onda da onda resultante;
(b) supondo que a onda está numa corda, determinar os possíveis valores do comprimento dessa corda.
(a) o comprimento de onda da onda resultante;
(b) supondo que a onda está numa corda, determinar os possíveis valores do comprimento dessa corda.
Informações relevantes fornecidas:
- A função espacial é
, ou seja o argumento angular espacial é . - A amplitude espacial (envelope) multiplicativa é
, e a parte temporal é (essa parte dá a frequência angular, mas não é necessária para (a) além de ilustrar ).
Passo 2
Entendendo a forma padrão de uma onda estacionária (aula curta e direta). Quando duas ondas harmônicas idênticas viajam em direções opostas, a superposição pode ser escrita como
onde:
-
é a amplitude de cada onda progressiva (cada onda viajante), então é a amplitude máxima do padrão estacionário nos antinodos; -
é o número de onda, medido em , relacionado ao comprimento de onda por
-
é a frequência angular, relacionada à frequência por .
Aqui a forma dada é
. Comparando com a forma padrão vê-se que o fator que multiplica
dentro do seno é exatamente
. Portanto o número de onda é
. (Além disso, da comparação tem-se
, logo a amplitude de cada onda viajante seria
, caso isso interesse.)
Passo 3
Calcular o comprimento de onda a partir de
. Usar a relação
Isolando
obtemos
Substituindo
resulta
Portanto o comprimento de onda é
.
Passo 4
Agora a parte (b): ondas estacionárias numa corda com as extremidades fixas. Vou explicar o princípio que conecta
e o comprimento da corda
.
Quando uma corda está fixa nas duas extremidades, os nós (lugares onde
para todo
) ocorrem nas duas extremidades. Para que isso ocorra para um modo estacionário, o comprimento da corda precisa comportar um número inteiro de meios comprimentos de onda. A condição de contorno é
onde
é um número inteiro positivo (
). Essa fórmula vem da observação de que entre dois nós consecutivos há exatamente meia onda, e entre as duas extremidades fixas deve haver um número inteiro de meias-ondas.
Passo 5
Aplicar a condição para os possíveis comprimentos usando o valor de
encontrado. Substituindo
em
temos
Ou seja, os comprimentos possíveis da corda são
metros.
Passo 6
Recapitulando de forma prática e motivadora: o passo-chave foi identificar o número de onda
lendo o argumento do seno na expressão dada, usar
para obter
e então aplicar a condição de modos estacionários numa corda fixa para concluir que os comprimentos permitidos são múltiplos inteiros de
. Boa! Isso é exatamente o que costumam cobrar na prova — pegue o
direto da expressão espacial e aplique
.
Resposta
(a)
(b)