(2 pts) - O Mi mais agudo em um violino tem uma frequència de 659.26 Hz . (a) Supondo que a nota é produzida em uma corda de 330 mm com tensīo de 100 N . Determine a massa da corda, se esta vibra em seu modo fundamental. (b) Determine a menor e a maior frequéncia audivel que pode ser produzida por esta corda.
\begin{aligned} & f=\frac{1}{2 L} \sqrt{\frac{T}{M}} \cdot z K \\\ & (2 L f)^{2}=\left(\sqrt{\frac{T}{4}}\right)^{x} \end{aligned}\left\{\begin{array}{l} y \cdot(2 L f)^{2}=T \quad \\\ y=\frac{T}{(2 L f)^{2}} \\\ (2 L f)^{2}=\frac{T}{4} \end{array} \quad m=\frac{T}{(2 L F)^{2}} \cdot L \rightarrow m=\frac{300 \mathrm{~N}}{(2 .(3300 \mathrm{~m}) \cdot 659,20}\right.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que pede (peguei todos os números do enunciado).
  • Dados fornecidos:
    • frequência da nota (modo fundamental): f=659,26\\ \mathrm{Hz}.
    • comprimento efetivo da corda: L=330\\ \mathrm{mm}=0,330\\ \mathrm{m}.
    • tensão da corda: T=100\\ \mathrm{N}.
  • O enunciado pede:
    • (a) determinar a massa da corda (massa total m) quando vibra no modo fundamental;
    • (b) determinar a menor e a maior frequência audível que essa corda pode produzir (considerando os harmônicos da mesma).

Passo 2

Fórmula e explicação física (passo-a-passo didático).
  • Uma corda esticada que vibra no modo fundamental tem frequência dada por
f=\frac{1}{2L}\sqrt{\frac{T}{\mu}},
onde:
  • f é a frequência do modo considerado (aqui o fundamental);
  • L é o comprimento da corda (m);
  • T é a tensão na corda (N);
  • \mu é a densidade linear de massa da corda (massa por unidade de comprimento), em \mathrm{kg/m}.
  • Intuição rápida: quanto maior a tensão T, maior a frequência; quanto maior a massa por unidade de comprimento \mu ou maior o comprimento L, menor a frequência.
  • Para achar a massa total m da corda usamos \mu=m/L. Primeiro resolvemos a fórmula para \mu:
2L f=\sqrt{\frac{T}{\mu}}\quad\Rightarrow\quad (2L f)^2=\frac{T}{\mu}\quad\Rightarrow\quad \mu=\frac{T}{(2L f)^2}.
  • Depois a massa total é
m=\mu L=\frac{T}{(2L f)^2}\,L=\frac{T}{4 L f^{2}}.
Expliquei cada passo algebraico: isolou-se \mu elevando ao quadrado e invertendo a relação, depois multiplicou-se por L para obter m.

Passo 3

Cálculo numérico de \mu (densidade linear) mostrando etapas.
  • Primeiro calculemos f^{2}:
f^{2}=(659,26)^{2}=434\,623,7476\\ \mathrm{Hz^{2}} \quad(\text{arredondando: }434\,623,75).
  • Calculemos agora (2L f)^{2} a partir de 4L^{2}f^{2} ou usemos a fórmula direta para \mu. Vou usar \mu=\dfrac{T}{4 L^{2} f^{2}} para mostrar o que acontece:
L^{2}=(0,330)^{2}=0,1089\\ \mathrm{m^{2}},
4L^{2}f^{2}=4\cdot 0,1089\cdot 434\,623,7476=0,4356\cdot 434\,623,7476\approx 189\,321,011.
\mu=\frac{T}{4L^{2}f^{2}}=\frac{100}{189\,321,011}\approx 0,0005280\\ \mathrm{kg/m}.

Passo 4

Cálculo da massa total m.
  • Usando m=\mu L:
m=\mu L=0,0005280\cdot 0,330\approx 0,00017424\\ \mathrm{kg}.
  • Convertendo para gramas:
m\approx 0,00017424\\ \mathrm{kg}=0,17424\\ \mathrm{g}.
  • Para ficar redondinho: m\approx 1,74\times 10^{-4}\\ \mathrm{kg} ou m\approx 0,174\\ \mathrm{g}.

Passo 5

Explicação sobre quais frequências a corda pode produzir (harmônicos) e cálculo do máximo audível.
  • Uma corda fixa nas extremidades só produz frequências nos harmônicos inteiros do fundamental:
f_{n}=n f_{1},\qquad n=1,2,3,\dots
onde f_{1} é o fundamental (aqui f_{1}=659,26\\ \mathrm{Hz}).
  • A menor frequência que a própria corda pode produzir é o fundamental, ou seja
f_{\min}=f_{1}=659,26\\ \mathrm{Hz},
porque não existem subharmônicos com frequência menor no modo natural da corda fixa.
  • Para a maior frequência audível que a corda pode produzir, usamos o limite superior aproximado da audição humana, f_{\text{aud,max}}\approx 20\,000\\ \mathrm{Hz}. Queremos o maior n inteiro tal que n f_{1}\le 20\,000.
n_{\max}=\left\lfloor\frac{20\,000}{659,26}\right\rfloor=\left\lfloor 30,34\right\rfloor=30.
  • A maior harmônica audível é, portanto,
f_{30}=30\cdot 659,26=19\,777,8\\ \mathrm{Hz}.
  • Observação intuitiva: harmônicas muito altas existem teoricamente, mas acima de \sim 20\\ \mathrm{kHz} não são ouvíveis pelo ouvido humano comum.

Passo 6

Resumo dos resultados com sentido físico e verificação rápida de escala.
  • A massa total encontrada é muito pequena (fração de grama), o que faz sentido para cordas de instrumentos (cordas finas e leves têm frequências altas).
  • As frequências possíveis pela corda inteira são 659,26\\ \mathrm{Hz}, 2\cdot659,26\\ \mathrm{Hz}, 3\cdot659,26\\ \mathrm{Hz},\dots; entre elas, a mais alta que ainda é audível corresponde à harmônica n=30.

Resposta

(a) m\approx 1,74\times 10^{-4}\\ \mathrm{kg}\approx 0,174\\ \mathrm{g}
(b) menor frequência audível produzida pela corda: 659,26\\ \mathrm{Hz}
maior frequência audível produzida pela corda: 19\,777,8\\ \mathrm{Hz} (harmônica n=30)

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