(2 pts) - O Mi mais agudo em um violino tem uma frequència de 659.26 Hz . (a) Supondo que a nota é produzida em uma corda de 330 mm com tensīo de 100 N . Determine a massa da corda, se esta vibra em seu modo fundamental. (b) Determine a menor e a maior frequéncia audivel que pode ser produzida por esta corda.
\begin{aligned} & f=\frac{1}{2 L} \sqrt{\frac{T}{M}} \cdot z K \\\ & (2 L f)^{2}=\left(\sqrt{\frac{T}{4}}\right)^{x} \end{aligned}\left\{\begin{array}{l} y \cdot(2 L f)^{2}=T \quad \\\ y=\frac{T}{(2 L f)^{2}} \\\ (2 L f)^{2}=\frac{T}{4} \end{array} \quad m=\frac{T}{(2 L F)^{2}} \cdot L \rightarrow m=\frac{300 \mathrm{~N}}{(2 .(3300 \mathrm{~m}) \cdot 659,20}\right.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que pede (peguei todos os números do enunciado).
Dados fornecidos:
frequência da nota (modo fundamental): f=659,26\\ \mathrm{Hz}.
comprimento efetivo da corda: L=330\\ \mathrm{mm}=0,330\\ \mathrm{m}.
tensão da corda: T=100\\ \mathrm{N}.
O enunciado pede:
(a) determinar a massa da corda (massa total m) quando vibra no modo fundamental;
(b) determinar a menor e a maior frequência audível que essa corda pode produzir (considerando os harmônicos da mesma).
Passo 2
Fórmula e explicação física (passo-a-passo didático).
Uma corda esticada que vibra no modo fundamental tem frequência dada por
f=\frac{1}{2L}\sqrt{\frac{T}{\mu}},
onde:
f é a frequência do modo considerado (aqui o fundamental);
L é o comprimento da corda (m);
T é a tensão na corda (N);
\mu é a densidade linear de massa da corda (massa por unidade de comprimento), em \mathrm{kg/m}.
Intuição rápida: quanto maior a tensão T, maior a frequência; quanto maior a massa por unidade de comprimento \mu ou maior o comprimento L, menor a frequência.
Para achar a massa total m da corda usamos \mu=m/L. Primeiro resolvemos a fórmula para \mu:
Calculemos agora (2L f)^{2} a partir de 4L^{2}f^{2} ou usemos a fórmula direta para \mu. Vou usar \mu=\dfrac{T}{4 L^{2} f^{2}} para mostrar o que acontece:
Para ficar redondinho: m\approx 1,74\times 10^{-4}\\ \mathrm{kg} ou m\approx 0,174\\ \mathrm{g}.
Passo 5
Explicação sobre quais frequências a corda pode produzir (harmônicos) e cálculo do máximo audível.
Uma corda fixa nas extremidades só produz frequências nos harmônicos inteiros do fundamental:
f_{n}=n f_{1},\qquad n=1,2,3,\dots
onde f_{1} é o fundamental (aqui f_{1}=659,26\\ \mathrm{Hz}).
A menor frequência que a própria corda pode produzir é o fundamental, ou seja
f_{\min}=f_{1}=659,26\\ \mathrm{Hz},
porque não existem subharmônicos com frequência menor no modo natural da corda fixa.
Para a maior frequência audível que a corda pode produzir, usamos o limite superior aproximado da audição humana, f_{\text{aud,max}}\approx 20\,000\\ \mathrm{Hz}. Queremos o maior n inteiro tal que n f_{1}\le 20\,000.
Observação intuitiva: harmônicas muito altas existem teoricamente, mas acima de \sim 20\\ \mathrm{kHz} não são ouvíveis pelo ouvido humano comum.
Passo 6
Resumo dos resultados com sentido físico e verificação rápida de escala.
A massa total encontrada é muito pequena (fração de grama), o que faz sentido para cordas de instrumentos (cordas finas e leves têm frequências altas).
As frequências possíveis pela corda inteira são 659,26\\ \mathrm{Hz}, 2\cdot659,26\\ \mathrm{Hz}, 3\cdot659,26\\ \mathrm{Hz},\dots; entre elas, a mais alta que ainda é audível corresponde à harmônica n=30.
Resposta
(a) m\approx 1,74\times 10^{-4}\\ \mathrm{kg}\approx 0,174\\ \mathrm{g}
(b) menor frequência audível produzida pela corda: 659,26\\ \mathrm{Hz}
maior frequência audível produzida pela corda: 19\,777,8\\ \mathrm{Hz} (harmônica n=30)