A parede externa de uma casa é composta por uma camada de 20 cm de espessura de tijolo comum e uma camada de 5 cm de gesso. Qual a taxa de transferência de calor por unidade de área, se a face externa da parede se encontra à 35^{\circ} \mathrm{C} e a face interna à 20^{\circ} \mathrm{C} ? Qual a espessura de isolamento de lã de rocha ( \mathrm{k}=0,065 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} ) que deve ser adicionada à parede, para se reduzir a transferência de calor em 80 \% ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas. Lista dos dados fornecidos:
  • Espessura do tijolo: 20\\ \mathrm{cm} (ou seja, 0,20\\ \mathrm{m}).
  • Espessura do gesso: 5\\ \mathrm{cm} (ou seja, 0,05\\ \mathrm{m}).
  • Temperatura da face externa: 35^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura da face interna: 20^\circ\mathrm{C}.
  • Condutividade térmica da lã de rocha: k_{\text{lã}}=0,065\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}ã.
  • Pedido 1: taxa de transferência de calor por unidade de área (fluxo de calor por m²) através da parede atual.
  • Pedido 2: espessura de lã de rocha a acrescentar, de modo a reduzir a transferência de calor em 80\%.
Observação importante: o enunciado NÃO informou as condutividades térmicas do tijolo comum e do gesso. Para poder calcular numericamente, vou assumir valores típicos (valores usuais de referência):
  • k_{\text{tijolo}}=0{,}60\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}
  • k_{\text{gesso}}=0{,}40\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}
Se você tiver outros valores indicados pelo professor, substitua estes e repita os cálculos. Vou usar as unidades SI (m, W, K).

Passo 2

Conceito e fórmula básica (aula rapidinha): para transferência de calor por condução unidimensional através de camadas planas em série, cada camada tem resistência térmica por unidade de área dada por
R=\frac{L}{k},
onde L é a espessura da camada (em metros) e k é a condutividade térmica (em \mathrm{W/(m\cdot K)}). A resistência total por unidade de área é a soma das resistências das camadas:
R_{\text{total}}=\sum_i R_i = \sum_i \frac{L_i}{k_i}.
O fluxo de calor por unidade de área (densidade de fluxo) é então dado por a lei de Fourier, na forma simplificada para regime estacionário e diferença de temperatura conhecida:
q=\frac{\Delta T}{R_{\text{total}}},
onde \Delta T é a diferença de temperatura entre as faces (em K ou ^{\circ}\mathrm{C}).
Explicando em palavras: pense em cada camada como uma “resistência” ao fluxo de calor; quanto maior a resistência total, menor o fluxo de calor para a mesma diferença de temperatura.

Passo 3

Calcular as resistências de cada camada usando as espessuras e as condutividades assumidas.
Converter espessuras para metros:
L_{\text{tijolo}}=0{,}20\\ \mathrm{m},\qquad L_{\text{gesso}}=0{,}05\\ \mathrm{m}.
Resistência do tijolo:
R_{\text{tijolo}}=\frac{L_{\text{tijolo}}}{k_{\text{tijolo}}}=\frac{0{,}20}{0{,}60}=0{,}333333\\ \mathrm{K/W\\ per\\ m^2}.
Resistência do gesso:
R_{\text{gesso}}=\frac{L_{\text{gesso}}}{k_{\text{gesso}}}=\frac{0{,}05}{0{,}40}=0{,}125\\ \mathrm{K/W\\ per\\ m^2}.
Resistência total da parede (sem isolamento):
R_{\text{total}}=R_{\text{tijolo}}+R_{\text{gesso}}=0{,}333333+0{,}125=0{,}458333\\ \mathrm{K/W\\ per\\ m^2}.

Passo 4

Calcular a taxa de transferência de calor por unidade de área (fluxo q) usando a diferença de temperatura entre faces:
\Delta T = 35^\circ\mathrm{C}-20^\circ\mathrm{C}=15\\ \mathrm{K}.
Aplicando
q=\frac{\Delta T}{R_{\text{total}}}=\frac{15}{0{,}458333}=32{,}7272727\\ \mathrm{W/m^2}.
Arredondando razoavelmente, q\approx 32{,}73\\ \mathrm{W/m^2}.
Comentário prático: isso significa que, por cada metro quadrado dessa parede, cerca de 32{,}7\\ \mathrm{W} estão sendo transferidos continuamente pela condução (do exterior mais quente para o interior mais frio).

Passo 5

Raciocínio para reduzir o fluxo em 80\%: queremos que o novo fluxo q_{\text{novo}} seja 20\% do original:
q_{\text{novo}}=0{,}20\\ q.
Como q=\Delta T / R_{\text{total}} e q_{\text{novo}}=\Delta T / R_{\text{novo}}, temos
\frac{\Delta T}{R_{\text{novo}}}=0{,}20\cdot\frac{\Delta T}{R_{\text{total}}}.
Cancelando \Delta T (não zero),
\frac{1}{R_{\text{novo}}}=0{,}20\cdot\frac{1}{R_{\text{total}}}\quad\Longrightarrow\quad R_{\text{novo}}= \frac{R_{\text{total}}}{0{,}20}=5\,R_{\text{total}}.
Logo a resistência total desejada é cinco vezes a resistência atual. A resistência adicional que o isolamento deve fornecer é
R_{\text{isol}}=R_{\text{novo}}-R_{\text{total}}=5R_{\text{total}}-R_{\text{total}}=4R_{\text{total}}.

Passo 6

Calcular numericamente a resistência adicional necessária e, a partir dela, a espessura da lã de rocha.
Resistência adicional necessária:
R_{\text{isol}}=4R_{\text{total}}=4\times 0{,}458333=1{,}833333\\ \mathrm{K/W\\ per\\ m^2}.
Sabendo que para o isolante
R_{\text{isol}}=\frac{L_{\text{isol}}}{k_{\text{lã}}}\quad\Longrightarrow\quad L_{\text{isol}}=R_{\text{isol}}\cdot k_{\text{lã}}.ãã
Substituindo k_{\text{lã}}=0{,}065\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}ã:
L_{\text{isol}}=1{,}833333\times 0{,}065=0{,}1191667\\ \mathrm{m}.
Convertendo para centímetros:
L_{\text{isol}}\approx 11{,}92\\ \mathrm{cm}\\ (\approx 12{,}0\\ \mathrm{cm}).
Interpretação: acrescentando cerca de 12\\ \mathrm{cm} de lã de rocha com k=0{,}065\\ \mathrm{W/(m\cdot K)} você aumenta a resistência total para cinco vezes o valor original, reduzindo o fluxo térmico para 20\% do original (redução de 80\%).

Resposta

Taxa de transferência de calor por unidade de área: 32{,}73\\ \mathrm{W/m^2}\nEspessura de lã de rocha necessária: 0{,}119\\ \mathrm{m} (aprox. 11{,}9\\ \mathrm{cm})

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