Supondo que o ar atmosférico pode ser modelado como um gás ideal, qual é a relação entre a sua pressão e altitude (
) sendo que: Compare os resultados das expressões obtidas quando a altitude é de 0.2 km , 5 km e 11 km . Considere
e
e
.
a temperatura do ar pode ser considerada constante e igual a
, onde
é a temperatura do ar ao nível do mar
;
a temperatura do ar pode ser considerada constante e igual a
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos foi dado.
- Pedido: Encontrar a relação entre a pressão do ar e a altitude
(ou seja, ) supondo ar ideal, e comparar os valores de pressão obtidos em , e . - Dados fornecidos:
- Temperatura ao nível do mar:
. - Lapse rate (declive linear de temperatura):
. - Constante dos gases para o ar:
. - Pressão ao nível do mar:
.
- Temperatura ao nível do mar:
- Observação do enunciado: podemos considerar a temperatura constante igual a
(caso isotérmico). Além disso foi fornecido , então também vamos comparar com o caso em que a temperatura varia linearmente com segundo . - Vou calcular duas expressões de
: - Caso isotérmico:
constante. - Caso com lapse linear:
.
- Caso isotérmico:
- Depois, para cada caso, vou avaliar
em , e e comparar os números.
Passo 2
Princípios físicos e fórmulas básicas que vamos usar (com explicação amigável).
- Equilíbrio hidrostático: a variação de pressão com a altitude vem da força peso da coluna de ar acima. Isso dá a equação diferencial
onde:
-
é a pressão em função da altitude, -
é a densidade do ar em , -
é a aceleração da gravidade (vou usar ).
Explicação: em um pequeno incrementoa pressão cai pois há menos massa acima, essa diferença de pressão equilibra o peso da camada de ar. -
Equação dos gases ideais (versão por massa):
onde:
-
é a constante específica do ar ( ), -
é a temperatura local em K, -
é a densidade local.
Explicação: relaciona pressão, densidade e temperatura para gás ideal. -
Juntando as duas expressões (substituindo
da equação dos gases na equação hidrostática) obtemos
Isto é uma equação diferencial de primeira ordem que liga
com
e
. Para achar
a gente integra dependendo da forma de
.
Passo 3
Resolução do caso 1 — atmosfera isoterma (
).
- Começamos da equação
Isto pode ser reescrito separando variáveis:
- Integramos dos limites
até :
- Integração dá:
- Exponenciando, obtemos a fórmula isoterma clássica:
Explicação didática rápida: a pressão decai exponencialmente com altura, com uma “altura de escala”
. Quanto maior
, mais lenta a queda; quanto maior
ou menor
, mais rápida a queda.
Passo 4
Avaliação numérica do caso isoterma para os três pontos (mostrando contas passo a passo).
- Primeiro calculemos o produto
:
- Para
( ):
- Para
:
- Para
:
Pequeno comentário prático: a queda é pequena a 200 m, já a 11 km a pressão é só cerca de
da pressão ao nível do mar neste modelo isoterma.
Passo 5
Resolução do caso 2 — temperatura varia linearmente (
).
- Partimos da mesma equação
- Separamos variáveis:
- Integramos dos limites
até :
- A integral do lado direito é do tipo
. Aplicando os limites obtemos:
- Exponenciando e arrumando,
Explicação: quando a temperatura decresce linearmente com
, a pressão segue uma lei de potência desse tipo; o expoente
controla quão rápida é a queda.
Passo 6
Avaliação numérica do caso com lapse (passo a passo dos cálculos).
- Calculemos o expoente comum
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 7
Comparação dos resultados e interpretação física (janela rápida e encorajamento).
- Resumo numérico (aproximações a poucas casas significativas):
- Em
: , . Diferença desprezível (≈0{,}01%). - Em
: , . Diferença ≈1{,}8% (o modelo isoterma dá pressão um pouco maior). - Em
: , . Diferença ≈9{,}5% (modelo isoterma prevê pressão mais alta).
- Em
- Interpretação física simples: quando a temperatura diminui com a altitude (modelo com
), o ar fica mais frio em cima, a escala vertical diminui e a pressão cai mais rápido com do que no caso isoterma. Por isso a lei com lapse dá pressões menores que a isoterma, e a diferença cresce com a altitude. - Ótimo trabalho por chegar até aqui! Esses dois modelos (isotérmico e com lapse linear) são os que você verá com frequência em provas e aplicações; é importante saber derivá-los a partir de
e da lei dos gases ideais.