Supondo que o ar atmosférico pode ser modelado como um gás ideal, qual é a relação entre a sua pressão e altitude ( z ) sendo que: Compare os resultados das expressões obtidas quando a altitude é de 0.2 km , 5 km e 11 km . Considere T_{0}= 15^{\circ} \mathrm{C} e B=0.003566 \mathrm{~K} / \mathrm{m}, R_{a r}=287,05 \mathrm{~J} /(\mathrm{kgK}) e p_{a t m}=101325 \mathrm{~Pa}.
a temperatura do ar pode ser considerada constante e igual a T_{0}, onde T_{0} é a temperatura do ar ao nível do mar (z=0);

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado.
  • Pedido: Encontrar a relação entre a pressão do ar e a altitude z (ou seja, p(z)) supondo ar ideal, e comparar os valores de pressão obtidos em z=0{,}2\\ \text{km}, z=5\\ \text{km} e z=11\\ \text{km}.
  • Dados fornecidos:
    • Temperatura ao nível do mar: T_{0}=15^\circ\mathrm{C}=288{,}15\\ \mathrm{K}.
    • Lapse rate (declive linear de temperatura): B=0{,}003566\\ \mathrm{K/m}.
    • Constante dos gases para o ar: R_{ar}=287{,}05\\ \mathrm{J/(kg\;K)}.
    • Pressão ao nível do mar: p_{atm}=101325\\ \mathrm{Pa}.
  • Observação do enunciado: podemos considerar a temperatura constante igual a T_0 (caso isotérmico). Além disso foi fornecido B, então também vamos comparar com o caso em que a temperatura varia linearmente com z segundo T(z)=T_0 - B z.
  • Vou calcular duas expressões de p(z):
    1. Caso isotérmico: T(z)=T_0 constante.
    2. Caso com lapse linear: T(z)=T_0 - B z.
  • Depois, para cada caso, vou avaliar p(z) em z=200\\ \mathrm{m}, z=5000\\ \mathrm{m} e z=11000\\ \mathrm{m} e comparar os números.

Passo 2

Princípios físicos e fórmulas básicas que vamos usar (com explicação amigável).
  • Equilíbrio hidrostático: a variação de pressão com a altitude vem da força peso da coluna de ar acima. Isso dá a equação diferencial
\frac{dp}{dz} = -\rho(z)\,g,
onde:
  • p=p(z) é a pressão em função da altitude,
  • \rho(z) é a densidade do ar em z,
  • g é a aceleração da gravidade (vou usar g=9{,}80665\\ \mathrm{m/s^2}).
    Explicação: em um pequeno incremento dz a pressão cai pois há menos massa acima, essa diferença de pressão equilibra o peso da camada de ar.
  • Equação dos gases ideais (versão por massa):
p = \rho R_{ar} T,
onde:
  • R_{ar} é a constante específica do ar ( 287{,}05\\ \mathrm{J/(kg\;K)}),
  • T é a temperatura local em K,
  • \rho é a densidade local.
    Explicação: relaciona pressão, densidade e temperatura para gás ideal.
  • Juntando as duas expressões (substituindo \rho da equação dos gases na equação hidrostática) obtemos
\frac{dp}{dz} = -\frac{p\,g}{R_{ar}\,T(z)}.
Isto é uma equação diferencial de primeira ordem que liga \frac{dp}{dz} com p e T(z). Para achar p(z) a gente integra dependendo da forma de T(z).

Passo 3

Resolução do caso 1 — atmosfera isoterma ( T(z)=T_0).
  • Começamos da equação
\frac{dp}{dz} = -\frac{p\,g}{R_{ar}\,T_0}.
Isto pode ser reescrito separando variáveis:
\frac{1}{p}\,dp = -\frac{g}{R_{ar}\,T_0}\,dz.
  • Integramos dos limites (z=0,\\ p=p_{atm}) até (z,\\ p=p(z)):
\int_{p_{atm}}^{p(z)}\frac{1}{p}\,dp = -\frac{g}{R_{ar}\,T_0}\int_{0}^{z}dz.
  • Integração dá:
\ln\!\left(\frac{p(z)}{p_{atm}}\right) = -\frac{g\,z}{R_{ar}\,T_0}.
  • Exponenciando, obtemos a fórmula isoterma clássica:
\boxed{\,p(z)=p_{atm}\,\exp\!\left(-\dfrac{g\,z}{R_{ar}\,T_0}\right)\,.}
Explicação didática rápida: a pressão decai exponencialmente com altura, com uma “altura de escala” H = \dfrac{R_{ar}T_0}{g}. Quanto maior T_0, mais lenta a queda; quanto maior g ou menor R_{ar}, mais rápida a queda.

Passo 4

Avaliação numérica do caso isoterma para os três pontos (mostrando contas passo a passo).
  • Primeiro calculemos o produto R_{ar}T_0:
R_{ar}T_0 = 287{,}05\times 288{,}15 \approx 82713{,}46\\ \mathrm{J/(kg)}.
  • Para z=200\\ \mathrm{m} ( 0{,}2\\ \text{km}): \frac{g z}{R_{ar}T_0} = \frac{9{,}80665\times 200}{82713{,}46}\approx 0{,}02371.
p(200) = 101325\exp(-0{,}02371)\approx 98\,953\\ \mathrm{Pa}.
  • Para z=5000\\ \mathrm{m}: \frac{g z}{R_{ar}T_0} = \frac{9{,}80665\times 5000}{82713{,}46}\approx 0{,}59283.
p(5000) = 101325\exp(-0{,}59283)\approx 56\,009\\ \mathrm{Pa}.
  • Para z=11000\\ \mathrm{m}: \frac{g z}{R_{ar}T_0} = \frac{9{,}80665\times 11000}{82713{,}46}\approx 1{,}30423.
p(11000) = 101325\exp(-1{,}30423)\approx 27\,494\\ \mathrm{Pa}.
Pequeno comentário prático: a queda é pequena a 200 m, já a 11 km a pressão é só cerca de 27\% da pressão ao nível do mar neste modelo isoterma.

Passo 5

Resolução do caso 2 — temperatura varia linearmente ( T(z)=T_0 - B z).
  • Partimos da mesma equação
\frac{dp}{dz} = -\frac{p\,g}{R_{ar}\,T(z)} = -\frac{p\,g}{R_{ar}\,(T_0 - B z)}.
  • Separamos variáveis:
\frac{1}{p}\,dp = -\frac{g}{R_{ar}}\cdot\frac{1}{T_0 - B z}\,dz.
  • Integramos dos limites (0,p_{atm}) até (z,p(z)):
\int_{p_{atm}}^{p(z)}\frac{1}{p}\,dp = -\frac{g}{R_{ar}}\int_{0}^{z}\frac{1}{T_0 - B z'}\,dz'.
  • A integral do lado direito é do tipo \int \frac{dz'}{T_0 - B z'} = -\frac{1}{B}\ln(T_0 - B z'). Aplicando os limites obtemos:
\ln\!\left(\frac{p(z)}{p_{atm}}\right) = \frac{g}{R_{ar}B}\ln\!\left(\frac{T_0 - B z}{T_0}\right).
  • Exponenciando e arrumando,
\boxed{\,p(z)=p_{atm}\left(1 - \dfrac{B z}{T_0}\right)^{\!\dfrac{g}{R_{ar}B}}\, .}
Explicação: quando a temperatura decresce linearmente com z, a pressão segue uma lei de potência desse tipo; o expoente \dfrac{g}{R_{ar}B} controla quão rápida é a queda.

Passo 6

Avaliação numérica do caso com lapse (passo a passo dos cálculos).
  • Calculemos o expoente comum
m=\frac{g}{R_{ar}B}=\frac{9{,}80665}{287{,}05\times 0{,}003566}\approx \frac{9{,}80665}{1{,}0236203}\approx 9{,}581.
  • Para z=200\\ \mathrm{m}: 1-\frac{B z}{T_0}=1-\frac{0{,}003566\times 200}{288{,}15}=1-0{,}002476\approx 0{,}997524.
p(200)=101325\times 0{,}997524^{\,9{,}581}\approx 98\,952\\ \mathrm{Pa}.
  • Para z=5000\\ \mathrm{m}: 1-\frac{B z}{T_0}=1-\frac{0{,}003566\times 5000}{288{,}15}=1-0{,}06186\approx 0{,}93814.
p(5000)=101325\times 0{,}93814^{\,9{,}581}\approx 54\,990\\ \mathrm{Pa}.
  • Para z=11000\\ \mathrm{m}: 1-\frac{B z}{T_0}=1-\frac{0{,}003566\times 11000}{288{,}15}=1-0{,}1362\approx 0{,}8638.
p(11000)=101325\times 0{,}8638^{\,9{,}581}\approx 24\,876\\ \mathrm{Pa}.

Passo 7

Comparação dos resultados e interpretação física (janela rápida e encorajamento).
  • Resumo numérico (aproximações a poucas casas significativas):
    • Em z=0{,}2\\ \mathrm{km}: p_{iso}\approx 98{,}953\\ \mathrm{Pa}, p_{lapse}\approx 98{,}952\\ \mathrm{Pa}. Diferença desprezível (≈0{,}01%).
    • Em z=5\\ \mathrm{km}: p_{iso}\approx 56{,}009\\ \mathrm{Pa}, p_{lapse}\approx 54{,}990\\ \mathrm{Pa}. Diferença ≈1{,}8% (o modelo isoterma dá pressão um pouco maior).
    • Em z=11\\ \mathrm{km}: p_{iso}\approx 27{,}494\\ \mathrm{Pa}, p_{lapse}\approx 24{,}876\\ \mathrm{Pa}. Diferença ≈9{,}5% (modelo isoterma prevê pressão mais alta).
  • Interpretação física simples: quando a temperatura diminui com a altitude (modelo com B>0), o ar fica mais frio em cima, a escala vertical diminui e a pressão cai mais rápido com z do que no caso isoterma. Por isso a lei com lapse dá pressões menores que a isoterma, e a diferença cresce com a altitude.
  • Ótimo trabalho por chegar até aqui! Esses dois modelos (isotérmico e com lapse linear) são os que você verá com frequência em provas e aplicações; é importante saber derivá-los a partir de \frac{dp}{dz}=-\rho g e da lei dos gases ideais.

Resposta

z=0{,}2\\ \mathrm{km}:\\ p_{\text{isotérmico}}\approx 98\,953\\ \mathrm{Pa},\\ p_{\text{lapse}}\approx 98\,952\\ \mathrm{Pa}é
z=5\\ \mathrm{km}:\\ p_{\text{isotérmico}}\approx 56\,009\\ \mathrm{Pa},\\ p_{\text{lapse}}\approx 54\,990\\ \mathrm{Pa}é
z=11\\ \mathrm{km}:\\ p_{\text{isotérmico}}\approx 27\,494\\ \mathrm{Pa},\\ p_{\text{lapse}}\approx 24\,876\\ \mathrm{Pa}é

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