Uma parede plana de aço com 8 cm de espessura separa dois ambientes mantidos a temperaturas constantes de 400^{\circ} \mathrm{C} e 100^{\circ} \mathrm{C}. A condutividade térmica do aço é \mathrm{k}=45 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \mathrm{K}. Justifique sua resposta.
Com base na equaçāo da Lei de Fourier para conduçāo em regime estacionário e unidimensional, assinale a alternativa correta:
A) O fluxo de calor é diretamente proporcional à espessura da parede e inversamente proporcional à diferença de temperatura.
B) O fluxo de calor será de aproximadamente 45 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}. pois a condutividade térmica equivale ao valor do fluxo.
C) O fluxo de calor é dado por \mathrm{q}=-\mathrm{kdT} / \mathrm{dx} e neste caso, vale aproximadamente 168750 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}.
D) O calor flui da região mais fria para a mais quente, devido ao gradiente de temperatura negativo.
E) Não há transferência de calor em regime estacionário porque a temperatura não varia com o tempo.

Passo 1

Vou listar exatamente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • Temperaturas dos dois lados da parede:
    • T_{\text{quente}}=400^\circ\mathrm{C}
    • T_{\text{frio}}=100^\circ\mathrm{C}
  • Espessura da parede: L=8\\ \mathrm{cm}.
  • Condutividade térmica do aço: k=45\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • Situação: condução em regime estacionário e unidimensional através de uma parede plana.
  • O enunciado pede que se assinale a alternativa correta entre A, B, C, D e E, justificando a resposta.
Observação numérica direta que vamos precisar: a espessura deve ser convertida para metros antes de usar fórmulas:
L=8\\ \mathrm{cm}=0,08\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Apresentar a lei física que se aplica e explicar cada símbolo (aulasinha rápida e prática).
A lei de Fourier para condução de calor unidimensional e em regime estacionário diz que o fluxo de calor por unidade de área (densidade de fluxo de calor), chamado de q'', é
q'' = -k\,\frac{dT}{dx}.
Explicando cada termo:
  • q'' é o fluxo de calor por unidade de área, em \mathrm{W/m^2}.
  • k é a condutividade térmica do material, em \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • \dfrac{dT}{dx} é o gradiente de temperatura ao longo da direção x (taxa de variação da temperatura por unidade de comprimento), em \mathrm{K/m}.
  • O sinal negativo indica que o calor flui no sentido de diminuição da temperatura: se a temperatura diminui no sentido +x, então \dfrac{dT}{dx}<0 e q''>0 (fluxo no sentido +x).
Para uma parede plana com temperatura constante nas faces e condutividade uniforme, a distribuição de temperatura é linear em x, logo
\frac{dT}{dx}=\frac{T_{\text{frio}}-T_{\text{quente}}}{L}=\frac{\Delta T}{L}.
Aqui \Delta T = T_{\text{frio}}-T_{\text{quente}} é a variação (pode ser negativa). A magnitude do fluxo pode ser escrita de forma prática como
\lvert q''\rvert = k\,\frac{\lvert T_{\text{quente}}-T_{\text{frio}}\rvert}{L}.

Passo 3

Aplicar a fórmula aos dados do problema (calcular o gradiente).
Temperatura diferença entre os lados:
T_{\text{quente}}-T_{\text{frio}} = 400^\circ\mathrm{C}-100^\circ\mathrm{C}=300\\ \mathrm{K}.
(O uso de graus Celsius ou Kelvin é equivalente para diferenças de temperatura.)
O gradiente de temperatura magnitude é
\left\lvert\frac{dT}{dx}\right\rvert = \frac{300}{0,08} = 3750\\ \mathrm{K/m}.
Se escolhermos uma coordenada x que aumenta do lado quente para o lado frio, então
\frac{dT}{dx}=\frac{100-400}{0,08}=-3750\\ \mathrm{K/m}.

Passo 4

Calcular numericamente o fluxo de calor usando a lei de Fourier.
Usando \;q''=-k\,\dfrac{dT}{dx}\; e o valor de \dfrac{dT}{dx}=-3750\\ \mathrm{K/m}:
q'' = -45\\ \mathrm{W/(m\cdot K)} \times (-3750\\ \mathrm{K/m}) = 45\times3750\\ \mathrm{W/m^2}.
Fazendo a conta:
45\times3750 = 45\times(3000+750)=45\times3000+45\times750=135000+33750=168750.
Portanto
q'' = 168750\\ \mathrm{W/m^2}.
Esse valor positivo indica que o calor flui do lado quente para o lado frio (conforme esperado).

Passo 5

Comparação com as alternativas e justificativa curta para eliminar as incorretas.
  • Alternativa A: “O fluxo de calor é diretamente proporcional à espessura da parede e inversamente proporcional à diferença de temperatura.” — falso. Pela lei de Fourier o fluxo é inversamente proporcional à espessura L e diretamente proporcional à diferença de temperatura \Delta T. A alternativa inverte esses dependências; portanto está errada.
  • Alternativa B: “O fluxo de calor será de aproximadamente 45\\ \mathrm{W/m^2}, pois a condutividade térmica equivale ao valor do fluxo.” — falso. k tem unidades diferentes e não é igual ao fluxo; o fluxo depende também de \Delta T e L. Erro conceitual.
  • Alternativa C: “O fluxo de calor é dado por \mathrm{q}=-\mathrm{k}\,dT/dx e neste caso, vale aproximadamente 168750\\ \mathrm{W/m^2}.” — isso coincide exatamente com a lei de Fourier e com o cálculo numérico que fizemos; portanto é correta.
  • Alternativa D: “O calor flui da região mais fria para a mais quente, devido ao gradiente de temperatura negativo.” — falso. O calor flui sempre da região mais quente para a mais fria espontaneamente; o gradiente negativo apenas informa a direção ao longo da coordenada escolhida.
  • Alternativa E: “Não há transferência de calor em regime estacionário porque a temperatura não varia com o tempo.” — falso. Regime estacionário significa que a temperatura em cada ponto não muda com o tempo, mas pode haver fluxo de calor constante através do corpo; portanto há transferência de calor.
Conclusão: apenas a alternativa C está correta.

Resposta

C

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