A viscosidade de um fluido deve ser medida por um viscosímetro construído com dois cilindros concêntricos de 150 cm de comprimento. O diâmetro externo do cilindro interno é de 10 cm, e a distância entre os dois cilindros é de 15 cm. O cilindro interno é girado a 300 rpm e o torque medido é de 2,4 N.m. Determine a viscosidade do fluido.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Comprimento do viscosímetro: L=150\\ \text{cm}=1,5\\ \text{m}.
  • Diâmetro externo do cilindro interno: D_i=10\\ \text{cm}. Logo o raio externo do cilindro interno é a=\dfrac{D_i}{2}=5\\ \text{cm}=0,05\\ \text{m}.
  • Distância entre os dois cilindros (espessura do vão radial): \Delta r=15\\ \text{cm}=0,15\\ \text{m}. Portanto o raio interno do cilindro externo é b=a+\Delta r=0,05+0,15=0,20\\ \text{m}.
  • Velocidade de rotação do cilindro interno: 300\\ \text{rpm}.
  • Torque medido no cilindro interno: T=2,4\\ \text{N}\cdot\text{m}.
  • O que nos pedem: determinar a viscosidade dinâmica do fluido \mu.

Passo 2

Converter a rotação para velocidade angular (rad/s).
  • 300\\ \text{rpm} = \dfrac{300}{60}\\ \text{rev/s}=5\\ \text{rev/s}.
  • Como 1\\ \text{rev/s}=2\pi\\ \text{rad/s}, temos
\Omega = 2\pi\cdot 5 = 10\pi\\ \text{rad/s}.

Passo 3

Modelo físico e equações fundamentais (explicação didática).
Quando o fluido entre cilindros é newtoniano, estacionário e o escoamento é apenas no sentido azimutal (apenas v_\theta(r)), a equação de momento reduz à equação ordinária cuja solução geral é da forma
v_\theta(r)=C_1 r + \frac{C_2}{r},
onde C_1 e C_2 são constantes determinadas pelas condições de contorno. Aqui:
  • v_\theta(r) é a velocidade tangencial do fluido a uma distância radial r do eixo.
  • C_1 r corresponde a um termo de rotação sólida, \dfrac{C_2}{r} vem da conservação do momento angular na região.
As condições de contorno são:
v_\theta(a)=\Omega a,\qquad v_\theta(b)=0.
Substituindo a expressão geral e resolvendo para C_2 (pulo algébrico mas é direto), obtém-se
C_2=\frac{\Omega a^2 b^2}{b^2-a^2}.
A tensão de cisalhamento relevante (componente radial-azimutal) em coordenadas cilíndricas é, para fluido newtoniano,
\tau_{r\theta}=\mu\!\left(\frac{\partial v_\theta}{\partial r}-\frac{v_\theta}{r}\right).
Usando v_\theta=C_1 r + C_2/r obtemos \tau_{r\theta}=-2\mu\,\dfrac{C_2}{r^2}.
O torque total sobre o cilindro interno (tomando módulo) é a integral da tensão vezes braço de alavanca ao longo da superfície cilíndrica:
T = \int_{0}^{2\pi} \tau_{r\theta}(a)\, a\, (L\, a\, d\theta) = 2\pi L a^2 \tau_{r\theta}(a).
Substituindo \tau_{r\theta}(a)=-2\mu C_2/a^2 resulta
T = 2\pi L a^2\left(-2\mu\frac{C_2}{a^2}\right) = -4\pi\mu L C_2.
Tomando o valor absoluto (o sinal apenas indica direção), e substituindo C_2, chegamos à fórmula prática
\boxed{T=\dfrac{4\pi\mu L \Omega a^2 b^2}{b^2-a^2}.}
Comentário rápido: essa fórmula é válida para escoamento laminar, estado estacionário, fluido newtoniano e cilindros longos onde efeitos de extremidade são desprezíveis — que é o caso típico de um viscosímetro cilíndrico comprido.

Passo 4

Isolar \mu da fórmula e escrever a expressão usada para cálculo:
A partir de
T=\frac{4\pi\mu L \Omega a^2 b^2}{b^2-a^2},
temos
\boxed{\mu=\frac{T\,(b^2-a^2)}{4\pi L \Omega a^2 b^2}.}

Passo 5

Substituir os valores numéricos passo a passo (tudo em unidades SI):
  • a=0,05\\ \text{m} e b=0,20\\ \text{m}.
  • Calcular b^2-a^2:
b^2-a^2 = 0,20^2 - 0,05^2 = 0,04 - 0,0025 = 0,0375\\ \text{m}^2.
  • Calcular a^2 b^2:
a^2 b^2 = (0,05^2)(0,20^2) = 0,0025\cdot 0,04 = 0,0001\\ \text{m}^4.
  • Já calculamos \Omega=10\pi\\ \text{rad/s}, L=1,5\\ \text{m} e T=2,4\\ \text{N}\cdot\text{m}.
Agora aplicar na fórmula:
\mu = \frac{2,4\cdot 0,0375}{4\pi \cdot 1,5 \cdot 10\pi \cdot 0,0001}.
Calcular numericamente em passos:
  • Numerador: 2,4\cdot 0,0375 = 0,09.
  • Denominador: 4\pi\cdot 1,5 \cdot 10\pi \cdot 0,0001 = (4\cdot 1,5 \cdot 10 \cdot 0,0001)\pi^2 = 0,006\pi^2.
  • Assim
\mu = \frac{0,09}{0,006\pi^2}.
Usando \pi^2\approx 9,8696,
\mu \approx \frac{0,09}{0,006\cdot 9,8696} \approx \frac{0,09}{0,0592176}\approx 1,5198\\ \text{Pa}\cdot\text{s}.
Arredondando de forma razoável (duas casas decimais significativas),
\mu \approx 1,52\\ \text{Pa}\cdot\text{s}.

Passo 6

Interpretação e verificação rápida: o valor \mu\approx 1,52\\ \text{Pa}\cdot\text{s} é bem maior que a viscosidade de água ( \sim 10^{-3}\\ \text{Pa}\cdot\text{s}), o que indica um fluido bastante viscoso (por exemplo óleos pesados, glicerina diluída, etc.). Isso faz sentido dado o torque relativamente grande medido a 300 rpm num vão relativamente largo.
Força extra de ânimo: você já cometeu a parte mais difícil — entender o modelo e a fórmula — agora é só aplicar com cuidado nas próximas questões. Vai dar certo!

Resposta

1,52\\ \text{Pa}\cdot\text{s}

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