A viscosidade de um fluido deve ser medida por um viscosímetro construído com dois cilindros concêntricos de 150 cm de comprimento. O diâmetro externo do cilindro interno é de 10 cm, e a distância entre os dois cilindros é de 15 cm. O cilindro interno é girado a 300 rpm e o torque medido é de 2,4 N.m. Determine a viscosidade do fluido.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Comprimento do viscosímetro:
. - Diâmetro externo do cilindro interno:
. Logo o raio externo do cilindro interno é . - Distância entre os dois cilindros (espessura do vão radial):
. Portanto o raio interno do cilindro externo é . - Velocidade de rotação do cilindro interno:
. - Torque medido no cilindro interno:
. - O que nos pedem: determinar a viscosidade dinâmica do fluido
.
Passo 2
Converter a rotação para velocidade angular (rad/s).
-
. - Como
, temos
Passo 3
Modelo físico e equações fundamentais (explicação didática).
Quando o fluido entre cilindros é newtoniano, estacionário e o escoamento é apenas no sentido azimutal (apenas
), a equação de momento reduz à equação ordinária cuja solução geral é da forma
onde
e
são constantes determinadas pelas condições de contorno. Aqui:
-
é a velocidade tangencial do fluido a uma distância radial do eixo. -
corresponde a um termo de rotação sólida, vem da conservação do momento angular na região.
As condições de contorno são:
Substituindo a expressão geral e resolvendo para
(pulo algébrico mas é direto), obtém-se
A tensão de cisalhamento relevante (componente radial-azimutal) em coordenadas cilíndricas é, para fluido newtoniano,
Usando
obtemos
.
O torque total sobre o cilindro interno (tomando módulo) é a integral da tensão vezes braço de alavanca ao longo da superfície cilíndrica:
Substituindo
resulta
Tomando o valor absoluto (o sinal apenas indica direção), e substituindo
, chegamos à fórmula prática
Comentário rápido: essa fórmula é válida para escoamento laminar, estado estacionário, fluido newtoniano e cilindros longos onde efeitos de extremidade são desprezíveis — que é o caso típico de um viscosímetro cilíndrico comprido.
Passo 4
Isolar
da fórmula e escrever a expressão usada para cálculo:
A partir de
temos
Passo 5
Substituir os valores numéricos passo a passo (tudo em unidades SI):
-
e . - Calcular
:
- Calcular
:
- Já calculamos
, e .
Agora aplicar na fórmula:
Calcular numericamente em passos:
- Numerador:
. - Denominador:
. - Assim
Usando
,
Arredondando de forma razoável (duas casas decimais significativas),
Passo 6
Interpretação e verificação rápida: o valor
é bem maior que a viscosidade de água (
), o que indica um fluido bastante viscoso (por exemplo óleos pesados, glicerina diluída, etc.). Isso faz sentido dado o torque relativamente grande medido a 300 rpm num vão relativamente largo.
Força extra de ânimo: você já cometeu a parte mais difícil — entender o modelo e a fórmula — agora é só aplicar com cuidado nas próximas questões. Vai dar certo!