Um veículo contém um tanque com 80 cm de altura e seção transversal de 1 \mathrm{~m} \times 0,5 \mathrm{~m}. Se o veículo é acelerado de 0 a 90 \mathrm{~km} / \mathrm{h} em 5 s , determine:
(a) As alturas iniciais permitidas para evitar derramamento em cada lado;
(b) As diferenças de pressão entre dois pontos (um na superfície e outro no fundo do tanque) na posição onde há maior altura de liquido.
Considere que há água no tanque 1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (não estou pedindo nada a você, só organizando os dados).
  • Altura total do tanque: H=0,80\\ \mathrm{m}.
  • Seção transversal do tanque: 1{,}0\\ \mathrm{m}\times0{,}5\\ \mathrm{m}. Vou assumir que a dimensão de 1{,}0\\ \mathrm{m} é a direção do movimento (isto é, o comprimento do tanque na direção da aceleração), porque o enunciado não diz explicitamente qual dimensão está alinhada com a aceleração; essa é a escolha mais natural para o problema.
  • A velocidade final é 90\\ \mathrm{km/h} atingida em 5\\ \mathrm{s}.
  • Densidade da água: \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
O que o enunciado pede:
(a) As alturas iniciais permitidas para evitar derramamento em cada lado do tanque (ou seja, qual a altura máxima de enchimento inicial que não leva a derramamento quando o fluido se inclina).
(b) A diferença de pressão entre um ponto na superfície livre e outro no fundo do tanque, na posição onde a coluna de líquido fica mais alta (isto é, no ponto do tanque onde a superfície atinge sua maior elevação após a inclinação).

Passo 2

Calcular a aceleração média durante a aceleração. Converter 90\\ \mathrm{km/h} para \mathrm{m/s}:
90\\ \mathrm{km/h} = 90\cdot\frac{1000}{3600}\\ \mathrm{m/s}=25\\ \mathrm{m/s}.
A aceleração média é
a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{25\\ \mathrm{m/s}}{5\\ \mathrm{s}}=5\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 3

Explicar por que a superfície livre fica inclinada e qual é a inclinação.
Num referencial não inercial acelerado com aceleração horizontal a, o fluido “sente” uma aceleração efetiva composta: vetor gravidade para baixo \vec{g} e aceleração inertial horizontal -\vec{a}. A superfície livre, em equilíbrio relativo, fica perpendicular ao vetor \vec{g}_{\rm eff}=\vec{g}-\vec{a}. Logo a inclinação (declividade) da superfície obedece a
\tan\theta=\frac{a}{g},
onde \theta é o ângulo que a superfície faz com a horizontal (pequeno, mas aqui não precisamos aproximar). Em termos de diferença de altura ao longo do comprimento L do tanque, a diferença de nível entre as extremidades é
\Delta h = L \tan\theta = L\frac{a}{g}.

Passo 4

Calcular \Delta h usando L=1{,}0\\ \mathrm{m} (assumido como a dimensão na direção da aceleração) e g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}:
\Delta h = 1{,}0\cdot\frac{5}{9{,}81}= \frac{5}{9{,}81}\\ \mathrm{m}\approx 0,509\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Relacionar a altura inicial uniforme h_0 (antes da aceleração) com as alturas nas extremidades depois da inclinação. Como o volume do líquido não muda, a altura média após a inclinação é igual à altura inicial h_0. Se chamarmos de h_{\rm alto} a altura no lado elevado e de h_{\rm baixo} a altura no lado rebaixado, tem-se
h_{\rm alto}=h_{0}+\frac{\Delta h}{2},\qquad h_{\rm baixo}=h_{0}-\frac{\Delta h}{2},
porque (h_{\rm alto}+h_{\rm baixo})/2=h_{0} e h_{\rm alto}-h_{\rm baixo}=\Delta h.

Passo 6

Condição para evitar derramamento: o lado elevado não pode ultrapassar a altura do tanque H. Então
h_{\rm alto}=h_{0}+\frac{\Delta h}{2}\le H.
Isolando h_0,
h_{0}\le H-\frac{\Delta h}{2}.
Substituindo os números:
\frac{\Delta h}{2}\approx\frac{0,509}{2}=0,2545\\ \mathrm{m},
então
h_{0,\max}=0,80-0,2545=0,5455\\ \mathrm{m}\approx0,546\\ \mathrm{m}.
Interpretação prática: se o tanque for inicialmente preenchido com altura h_0\le0,5455\\ \mathrm{m}, então, durante a aceleração dada, a superfície se inclina mas o lado elevado não alcança a borda e não ocorre derramamento. O mesmo limite vale simetricamente para o caso de frenagem de mesma intensidade (então o outro lado seria o elevado) — ou seja, o valor máximo de enchimento inicial é o mesmo “em cada lado”.

Passo 7

Agora (b): diferença de pressão entre um ponto na superfície e outro no fundo no local onde o líquido fica mais alto. Explicar a fórmula: a componente vertical da aceleração efetiva é apenas g; a aceleração horizontal não cria gradiente de pressão vertical. Portanto a variação de pressão vertical é a lei hidrostática usual:
\Delta p = p_{\rm fundo}-p_{\rm superfície}=\rho g h_{\rm local},í
onde h_{\rm local} é a altura vertical da coluna de líquido naquele local (no ponto onde a coluna é maior usamos h_{\rm local}=h_{\rm alto}).

Passo 8

Se quisermos o caso mais crítico (altura inicial ao limite de não-derramamento encontrado em (a)), então h_{\rm alto}=H=0,80\\ \mathrm{m}. Assim a diferença de pressão máxima nessa posição é
\Delta p=\rho g H=1000\cdot 9{,}81\cdot 0{,}80\\ \mathrm{Pa}=7848\\ \mathrm{Pa}\approx 7,85\times 10^{3}\\ \mathrm{Pa}.
Se preferir a fórmula geral para qualquer h_0, então
\Delta p=\rho g\left(h_{0}+\frac{\Delta h}{2}\right).

Passo 9

Resumo rápido e incentivo: a parte (a) foi reduzir o problema à inclinação da superfície ( \tan\theta=a/g) e aplicar conservação de volume; a parte (b) usa a hidrostática vertical usual porque a aceleração horizontal não altera o gradiente vertical de pressão. Você conseguiu — esse é o tipo de conta que cai em prova e que resolvemos em passos simples.

Resposta

(a) Altura inicial máxima sem derramamento (em qualquer lado): h_{0,\max}=0,5455\\ \mathrm{m} (aprox 0,546\\ \mathrm{m}).
(b) Diferença de pressão entre superfície e fundo no ponto de maior coluna (caso crítico): \Delta p=7{,}848\times10^{3}\\ \mathrm{Pa} (aprox 7{,}85\\ \mathrm{kPa}).

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