Um veículo contém um tanque com 80 cm de altura e seção transversal de
. Se o veículo é acelerado de 0 a
em 5 s , determine:
(a) As alturas iniciais permitidas para evitar derramamento em cada lado;
(b) As diferenças de pressão entre dois pontos (um na superfície e outro no fundo do tanque) na posição onde há maior altura de liquido.
Considere que há água no tanque
.
(a) As alturas iniciais permitidas para evitar derramamento em cada lado;
(b) As diferenças de pressão entre dois pontos (um na superfície e outro no fundo do tanque) na posição onde há maior altura de liquido.
Considere que há água no tanque
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (não estou pedindo nada a você, só organizando os dados).
- Altura total do tanque:
. - Seção transversal do tanque:
. Vou assumir que a dimensão de é a direção do movimento (isto é, o comprimento do tanque na direção da aceleração), porque o enunciado não diz explicitamente qual dimensão está alinhada com a aceleração; essa é a escolha mais natural para o problema. - A velocidade final é
atingida em . - Densidade da água:
.
O que o enunciado pede:
(a) As alturas iniciais permitidas para evitar derramamento em cada lado do tanque (ou seja, qual a altura máxima de enchimento inicial que não leva a derramamento quando o fluido se inclina).
(b) A diferença de pressão entre um ponto na superfície livre e outro no fundo do tanque, na posição onde a coluna de líquido fica mais alta (isto é, no ponto do tanque onde a superfície atinge sua maior elevação após a inclinação).
(a) As alturas iniciais permitidas para evitar derramamento em cada lado do tanque (ou seja, qual a altura máxima de enchimento inicial que não leva a derramamento quando o fluido se inclina).
(b) A diferença de pressão entre um ponto na superfície livre e outro no fundo do tanque, na posição onde a coluna de líquido fica mais alta (isto é, no ponto do tanque onde a superfície atinge sua maior elevação após a inclinação).
Passo 2
Calcular a aceleração média durante a aceleração. Converter
para
:
A aceleração média é
Passo 3
Explicar por que a superfície livre fica inclinada e qual é a inclinação.
Num referencial não inercial acelerado com aceleração horizontal , o fluido “sente” uma aceleração efetiva composta: vetor gravidade para baixo
e aceleração inertial horizontal
. A superfície livre, em equilíbrio relativo, fica perpendicular ao vetor
. Logo a inclinação (declividade) da superfície obedece a
Num referencial não inercial acelerado com aceleração horizontal
onde
é o ângulo que a superfície faz com a horizontal (pequeno, mas aqui não precisamos aproximar). Em termos de diferença de altura ao longo do comprimento
do tanque, a diferença de nível entre as extremidades é
Passo 4
Calcular
usando
(assumido como a dimensão na direção da aceleração) e
:
Passo 5
Relacionar a altura inicial uniforme
(antes da aceleração) com as alturas nas extremidades depois da inclinação. Como o volume do líquido não muda, a altura média após a inclinação é igual à altura inicial
. Se chamarmos de
a altura no lado elevado e de
a altura no lado rebaixado, tem-se
porque
e
.
Passo 6
Condição para evitar derramamento: o lado elevado não pode ultrapassar a altura do tanque
. Então
Isolando
,
Substituindo os números:
então
Interpretação prática: se o tanque for inicialmente preenchido com altura
, então, durante a aceleração dada, a superfície se inclina mas o lado elevado não alcança a borda e não ocorre derramamento. O mesmo limite vale simetricamente para o caso de frenagem de mesma intensidade (então o outro lado seria o elevado) — ou seja, o valor máximo de enchimento inicial é o mesmo “em cada lado”.
Passo 7
Agora (b): diferença de pressão entre um ponto na superfície e outro no fundo no local onde o líquido fica mais alto. Explicar a fórmula: a componente vertical da aceleração efetiva é apenas
; a aceleração horizontal não cria gradiente de pressão vertical. Portanto a variação de pressão vertical é a lei hidrostática usual:
onde
é a altura vertical da coluna de líquido naquele local (no ponto onde a coluna é maior usamos
).
Passo 8
Se quisermos o caso mais crítico (altura inicial ao limite de não-derramamento encontrado em (a)), então
. Assim a diferença de pressão máxima nessa posição é
Se preferir a fórmula geral para qualquer
, então
Passo 9
Resumo rápido e incentivo: a parte (a) foi reduzir o problema à inclinação da superfície (
) e aplicar conservação de volume; a parte (b) usa a hidrostática vertical usual porque a aceleração horizontal não altera o gradiente vertical de pressão. Você conseguiu — esse é o tipo de conta que cai em prova e que resolvemos em passos simples.
Resposta
(a) Altura inicial máxima sem derramamento (em qualquer lado):
(aprox
).
(b) Diferença de pressão entre superfície e fundo no ponto de maior coluna (caso crítico): (aprox
).
(b) Diferença de pressão entre superfície e fundo no ponto de maior coluna (caso crítico):