Use o método de substituição para resolver as seguintes integrais
\int \frac{x}{x^{2}+7} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a primitiva (antiderivada) da função dada. Informações fornecidas:
  • Integral a resolver: \displaystyle \int \frac{x}{x^{2}+7}\,dx.
  • Quer-se uma primitiva qualquer (incluindo a constante de integração C).

Passo 2

Vamos usar o método de substituição (como pedido). A ideia da substituição é escolher uma nova variável u que simplifique a integral; normalmente escolhe-se u igual a uma expressão do denominador quando a derivada dessa expressão aparece (até constante) no numerador. Aqui o denominador é x^{2}+7 e sua derivada em relação a x é 2x, que é proporcional ao numerador x. Portanto fazemos a substituição
u = x^{2}+7.

Passo 3

Calculemos du para relacionar dx com du. Derivando u em função de x obtém-se
du = 2x\,dx.
Isolando x\,dx temos
x\,dx = \frac{1}{2}\,du.
Agora substituímos u e x\,dx na integral original. A integral transforma-se em
\int \frac{x}{x^{2}+7}\,dx = \int \frac{1}{u}\left(x\,dx\right) = \int \frac{1}{u}\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int \frac{1}{u}\,du.

Passo 4

Conhecemos a primitiva básica \displaystyle \int \frac{1}{u}\,du = \ln|u| + C. Aplicando isso:
\frac{1}{2}\int \frac{1}{u}\,du = \frac{1}{2}\ln|u| + C.
Substituindo de volta u = x^{2}+7,
\frac{1}{2}\ln|x^{2}+7| + C.
Observação: como x^{2}+7>0 para todo x, podemos remover as barras de valor absoluto sem erro, ficando \frac{1}{2}\ln\!\left(x^{2}+7\right)+C.

Passo 5

Verificação rápida (bom hábito): derivando a resposta deve voltar a integranda. Diferenciando \displaystyle F(x)=\frac{1}{2}\ln\!\left(x^{2}+7\right) pela regra da cadeia:
F'(x)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^{2}+7}\cdot 2x = \frac{x}{x^{2}+7},
que é exatamente a função original. Logo a primitiva está correta.

Passo 6

Regra prática para usar na prova: quando a integral tem a forma \displaystyle \int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx, a primitiva é \ln|f(x)|+C. No caso aqui, f(x)=x^{2}+7 e f'(x)=2x; como o numerador é x (metade de 2x), aparece o fator \tfrac{1}{2} no resultado. Um exemplo parecido e simples: \displaystyle \int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\!\left(x^{2}+1\right)+C.

Resposta

\dfrac{1}{2}\ln\!\left(x^{2}+7\right)+C

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