Use o método de substituição para resolver as seguintes integrais
Passo 1
O enunciado pede calcular a primitiva (antiderivada) da função dada. Informações fornecidas:
- Integral a resolver:
. - Quer-se uma primitiva qualquer (incluindo a constante de integração
).
Passo 2
Vamos usar o método de substituição (como pedido). A ideia da substituição é escolher uma nova variável
que simplifique a integral; normalmente escolhe-se
igual a uma expressão do denominador quando a derivada dessa expressão aparece (até constante) no numerador. Aqui o denominador é
e sua derivada em relação a
é
, que é proporcional ao numerador
. Portanto fazemos a substituição
Passo 3
Calculemos
para relacionar
com
. Derivando
em função de
obtém-se
Isolando
temos
Agora substituímos
e
na integral original. A integral transforma-se em
Passo 4
Conhecemos a primitiva básica
. Aplicando isso:
Substituindo de volta
,
Observação: como
para todo
, podemos remover as barras de valor absoluto sem erro, ficando
.
Passo 5
Verificação rápida (bom hábito): derivando a resposta deve voltar a integranda. Diferenciando
pela regra da cadeia:
que é exatamente a função original. Logo a primitiva está correta.
Passo 6
Regra prática para usar na prova: quando a integral tem a forma
, a primitiva é
. No caso aqui,
e
; como o numerador é
(metade de
), aparece o fator
no resultado. Um exemplo parecido e simples:
.