Um ioiô tem massa M e momento de inércia I. O carretel em que se enrola o fio tem raio R. Determine a velocidade do ioiô, solto do repouso, após descer uma altura h utilizando
(a) considerações de dinâmica (ou seja, aplicando a segunda lei de Newton);
(b) considerações de energia.

Resposta

vf=raiz2 g h1+I / M R^2

Passo 1

Então, a gente tem um ioiô com massa $ M $ e momento de inércia $ I $. O carretel onde o fio está enrolado tem raio $ R $. A ideia aqui é descobrir qual será a velocidade do ioiô quando ele desce uma altura $ h $, começando do repouso. Vamos abordar isso de duas maneiras: usando a segunda lei de Newton (dinâmica) e usando conceitos de energia.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver usando dinâmica, aplicando a segunda lei de Newton. A segunda lei diz que a força resultante é igual à massa vezes a aceleração ($ F = m \cdot a $).

Passo 3

No caso do ioiô, temos duas forças atuando na direção vertical: a força da gravidade ($ M \cdot g M cdot g ã T T ç F $) é então $ M \cdot g - T $.

Passo 4

Aplicando a segunda lei de Newton:
M cdot g - T = M cdot a
Onde $ a $ é a aceleração do ioiô.

Passo 5

Além disso, como o fio está enrolado no carretel, a tensão $ T $ também causa um torque ($ \tau $) no carretel. O torque é dado por:
T
Onde $ \alpha $ é a aceleração angular.

Passo 6

Relacionando a aceleração linear $ a $ com a aceleração angular $ \alpha $:
a
Substituindo $ \alpha = \frac{a}{R} $ na equação do torque:
alpha
a = alpha cdot R

Passo 7

Voltando à equação da segunda lei:
M cdot g - I cdot aR^2 = M cdot a
Resolvendo para $ a $:
a
M cdot g = M cdot a + I cdot aR^2
a cdot ( M + IR^2 ) = M cdot g

Passo 8

Agora, queremos a velocidade final $ v $ após descer a altura $ h $. Como parte da aceleração, podemos usar a equação de movimento:
v
Substituindo $ a $:
h
v^2 = 2 cdot a cdot h
a

Passo 9

Agora, vamos conferir usando energia. A energia potencial gravitacional inicial ($ E_p $) do ioiô ao descer uma altura $ h $ é transformada em energia cinética translacional ($ E_k Ep é E_{k_{rot}} $).
h

Passo 10

Expressando as energias:
M cdot g cdot h = 12 cdot M cdot v^2 + 12 cdot I cdot omega^2
Como $ \omega = \frac{v}{R} $, substituímos:
omega = vR
M cdot g cdot h = 12 cdot M cdot v^2 + 12 cdot I cdot ( vR )^2
Solvendo para $ v $:
M cdot g cdot h = 12 cdot v^2 cdot ( M + IR^2 )
v

Resposta

vf=raiz2 g h1+I / M R^2

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