Um ioiô tem massa
e momento de inércia
. O carretel em que se enrola o fio tem raio
. Determine a velocidade do ioiô, solto do repouso, após descer uma altura
utilizando
(a) considerações de dinâmica (ou seja, aplicando a segunda lei de Newton);
(b) considerações de energia.
Resposta
(a) considerações de dinâmica (ou seja, aplicando a segunda lei de Newton);
(b) considerações de energia.
Passo 1
Então, a gente tem um ioiô com massa $ M $ e momento de inércia $ I $. O carretel onde o fio está enrolado tem raio $ R $. A ideia aqui é descobrir qual será a velocidade do ioiô quando ele desce uma altura $ h $, começando do repouso. Vamos abordar isso de duas maneiras: usando a segunda lei de Newton (dinâmica) e usando conceitos de energia.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver usando dinâmica, aplicando a segunda lei de Newton. A segunda lei diz que a força resultante é igual à massa vezes a aceleração ($ F = m \cdot a $).
Passo 3
No caso do ioiô, temos duas forças atuando na direção vertical: a força da gravidade ($ M \cdot g
T
F $) é então $ M \cdot g - T $.
Passo 4
Aplicando a segunda lei de Newton:
Onde $ a $ é a aceleração do ioiô.
Passo 5
Além disso, como o fio está enrolado no carretel, a tensão $ T $ também causa um torque ($ \tau $) no carretel. O torque é dado por:
Onde $ \alpha $ é a aceleração angular.
Passo 6
Relacionando a aceleração linear $ a $ com a aceleração angular $ \alpha $:
Substituindo $ \alpha = \frac{a}{R} $ na equação do torque:
Passo 7
Voltando à equação da segunda lei:
Resolvendo para $ a $:
Passo 8
Agora, queremos a velocidade final $ v $ após descer a altura $ h $. Como parte da aceleração, podemos usar a equação de movimento:
Substituindo $ a $:
Passo 9
Agora, vamos conferir usando energia. A energia potencial gravitacional inicial ($ E_p $) do ioiô ao descer uma altura $ h $ é transformada em energia cinética translacional ($ E_k
E_{k_{rot}} $).
Passo 10
Expressando as energias:
Como $ \omega = \frac{v}{R} $, substituímos:
Solvendo para $ v $: