PARTE B
Resolva:
(m) y^{\prime}=\frac{y}{x}+\cos ^{2}\left(\frac{y}{x}\right)

Passo 1

Temos a equação diferencial de primeira ordem
y' = \frac{y}{x} + \cos^{2}\biggl(\frac{y}{x}\biggr).
O conteúdo aqui é reconhecer que ela pode ser reduzida a uma equação separável pela substituição v = \frac{y}{x}.

Passo 2

Faço a mudança de variável
v = \frac{y}{x} \quad\Longrightarrow\quad y = v\,x.
Diferenciando em relação a x obtém-se
y' = v + x\,\frac{dv}{dx}.
Substituindo em y' = \frac{y}{x} + \cos^{2}(y/x)
v + x\,\frac{dv}{dx} = v + \cos^{2}(v).
Cancelando v dos dois lados resulta
x\,\frac{dv}{dx} = \cos^{2}(v).

Passo 3

Agora a equação é separável:
\frac{dv}{\cos^{2}(v)} = \frac{dx}{x}.
Repare que \frac{1}{\cos^{2}(v)} = \operatorname{sec}^{2}(v).

Passo 4

Integro os dois lados:
\int \operatorname{sec}^{2}(v)\,dv = \int \frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad \tan(v) = \ln\lvert x\rvert + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Volto à variável original y. Como v = \frac{y}{x}, tenho
\tan\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr) = \ln\lvert x\rvert + C \quad\Longrightarrow\quad \frac{y}{x} = \arctan\bigl(\ln\lvert x\rvert + C\bigr).
Logo a solução geral é
y = x \,\arctan\bigl(\ln\lvert x\rvert + C\bigr).

Resposta

y = x \,\arctan\bigl(\ln\lvert x\rvert + C\bigr),
com C constante de integração.

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