PARTE B
Resolva:
® y^{\prime}=\frac{y^{2}-2 x y}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y'=\frac{y^{2}-2xy}{x^{2}}.
O conteúdo envolvido é reconhecer que o lado direito depende só da razão y/x, permitindo a substituição z=y/x.

Passo 2

Reescrevendo o lado direito como função de y/x:
\frac{y^{2}-2xy}{x^{2}} =\frac{y^{2}}{x^{2}}-2\frac{y}{x} =\biggl(\frac{y}{x}\biggr)^{2}-2\biggl(\frac{y}{x}\biggr).
Logo
\frac{dy}{dx} =\biggl(\frac{y}{x}\biggr)^{2}-2\biggl(\frac{y}{x}\biggr).

Passo 3

Fazendo z=\frac{y}{x} implica y=zx e
\frac{dy}{dx} =z + x\frac{dz}{dx}.
Substituindo na equação original:
z + x\frac{dz}{dx} =z^{2}-2z \quad\Longrightarrow\quad x\frac{dz}{dx}=z^{2}-3z \quad\Longrightarrow\quad \frac{dz}{dx}=\frac{z(z-3)}{x}.

Passo 4

Separe as variáveis e integre:
\int\frac{dz}{z(z-3)}=\int\frac{dx}{x}.
Faça frações parciais:
\frac{1}{z(z-3)} =-\frac{1}{3}\,\frac{1}{z} +\frac{1}{3}\,\frac{1}{z-3}.
Integrando:
-\tfrac{1}{3}\ln\lvert z\rvert +\tfrac{1}{3}\ln\lvert z-3\rvert =\ln\lvert x\rvert + C.

Passo 5

Multiplique por 3 e exponencie:
\ln\Bigl\lvert\frac{z-3}{z}\Bigr\rvert =3\ln\lvert x\rvert + C_{1} \quad\Longrightarrow\quad \frac{z-3}{z}=C\,x^{3}.
Resolva para z:
z\bigl(1 - Cx^{3}\bigr)=3 \quad\Longrightarrow\quad z=\frac{3}{1 - Cx^{3}}.

Passo 6

Volte à variável original y=zx:
y =\frac{3}{1 - Cx^{3}}\,x =\frac{3x}{1 - Cx^{3}},
onde C é a constante arbitrária de integração.

Resposta

A solução geral é
y(x)=\frac{3x}{1 - Cx^{3}},
com C constante de integração.

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