Parte 1 - Balanço de Energia
Escreva a equação do balanço de energia para o elemento diferencial, considerando que:
  • A energia entra e sai nas direções radial ( r ), angular (Phi) e axial ( z ).
  • Existe geração de calor dotE>=r. dentro do volume.
  • O elemento pode armazenar energia.

Passo 1

Beleza, aqui o que o exercício tá pedindo é montar a equação de balanço de energia num pedacinho infinitesimal de material em coordenadas cilíndricas (variáveis , e ). A ideia é usar conservação de energia (primeira lei da termodinâmica) incluindo:
  • Entradas e saídas de calor por condução nas direções radial, angular e axial;
  • Geração interna de calor ;
  • Acúmulo (armazenamento) de energia no elemento.
O que vamos precisar:
  1. Lei de Fourier para condução de calor ( ).
  2. Expressões de fluxo em cada face do elemento cilíndrico.
  3. Volume e áreas dessas faces num pedacinho infinitesimal.
  4. Primeiro princípio aplicado: entrada – saída + geração = acumulação.

Passo 2

Condução na direção radial
  1. O fluxo de calor em qr = -k,Ar,partial Tpartial r = -k,(r,dphi,dz),partial Tpartial r|r pela face interna (em qr+dr = -k,(r+dr),dphi,dz, gl[partial Tpartial r|r + partialpartial rl(partial Tpartial rr)drgr] ) vale qr - qr+dr
  2. Pela face externa (em ), expandimos em série de Taylor:
  3. Então, o fluxo líquido entrando em na direção radial é

Passo 3

Condução na direção angular ( qphi = -k,1rpartial Tpartial phi,dr,dz, )
  1. Área da face em qphi - qphi+dphi é .
  2. Fluxo entrando em é e saindo em você faz o mesmo com Taylor.
  3. Fluxo líquido:

Passo 4

Condução na direção axial ( qz = -k,r,dr,dphi,partial Tpartial z|z, )
  1. Área da face em qz - qz+dz é .
  2. Fluxo entrando em : e saindo em com a expansão em Taylor.
  3. Fluxo líquido:

Passo 5

Geração interna de calor
Dentro do volume dot E>=r,dV há geração de energia:

Passo 6

Armazenamento de energia
O elemento armazena energia térmica segundo
rho,c ,dV,partial Tpartial t,
onde é a densidade, o calor específico.

Passo 7

Montando o balanço (entrada – saída + geração = acumulação) e dividindo tudo por rho,c,partial Tpartial t = 1r,partialpartial r!l(k,r,partial Tpartial rr) + 1r^2,partialpartial phi!l(k,partial Tpartial phir) + partialpartial z!l(k,partial Tpartial zr) + dot E>=r , depois de simplificar e usar limites , chegamos à equação diferencial:

Resposta

boxed rho,c,partial Tpartial t = 1r,partialpartial rl(k,r,partial Tpartial rr) + 1r^2,partialpartial phil(k,partial Tpartial phir) + partialpartial zl(k,partial Tpartial zr) + dot E>=r

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