Um campo de velocidade é definido por u=(4 x) m / s e v=(2 t) m / s, em que t está em segundos e x em metros. Determinar a linha de trajetória que passa pelo ponto ( 2 m ; 6 m ) quando t=1 s. Representar essa linha de trajetória graficamente para 0,25 m <= x <= 4 m.

Passo 1

Beleza, o exercício fala de um campo de velocidade 2D onde
dxdt=u(x,t)=4x, dydt=v(x,t)=2t
e pede a linha de trajetória – ou seja, a curva que cada partícula faz no plano (x,y) – que passa em (2 m, 6 m) quando t=1 s.
Conteúdo: EDOs separáveis e integrais simples, uso de condição inicial, eliminação de parâmetro e forma explícita y(x) para plotar.

Passo 2

Resolver dx/dt = 4x
  1. Reconhecemos que é EDO separável:
dxdt=4x;Longrightarrow;1x,dx=4,dt
2) Integramos dos dois lados:
integral1x,dx=integral4,dt;Longrightarrow;ln|x|=4t+C1
  1. Exponenciando:
x(t)=A,e^4t, A=e^C1
4) Use cond. inicial x(1)=2:
2=A,e^4cdot1;Longrightarrow;A=2e^-4
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boxedx(t)=2e^4(t-1)

Passo 3

Agora dy/dt = 2t
  1. É EDO do tipo “derivada = função de t” então basta integrar:
dydt=2t;Longrightarrow;y(t)=integral2t,dt = t^2 +C2
2) Em t=1, y(1)=6 dá
6=1^2+C2;Longrightarrow;C2=5
Então
boxedy(t)=t^2+5

Passo 4

Temos as paramétricas da trajetória:
l(x(t),y(t)r)=l(2e^4(t-1),;t^2+5r)
Para pôr em y(x), eliminamos t:
1) Da expressão de x:
4(t-1)=lnx2;Longrightarrow;t=1+14ln!l(x2r)
  1. Substituindo em y(t):
y(x)=l[,1+tfrac14ln!l(tfracx2r)r]^2+5

Passo 5

Gráfico: basta traçar
y(x)=l(1+tfrac14lnx2r)^2+5
para 0{,}25≤x≤4. Vai sair uma curva suave que em x=2 dá y=6 e se estende pra esquerda/direita.

Resposta

Linha de trajetória (forma explícita):
boxedy(x)=l(1+14ln!l(tfracx2r)r)^2+5, 0,25<= x<=4

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