Um campo de velocidade é definido por
e
, em que
está em segundos e
em metros. Determinar a linha de trajetória que passa pelo ponto (
) quando
. Representar essa linha de trajetória graficamente para
.
Passo 1
Beleza, o exercício fala de um campo de velocidade 2D onde
e pede a linha de trajetória – ou seja, a curva que cada partícula faz no plano (x,y) – que passa em (2 m, 6 m) quando t=1 s.
Conteúdo: EDOs separáveis e integrais simples, uso de condição inicial, eliminação de parâmetro e forma explícita y(x) para plotar.
Passo 2
Resolver dx/dt = 4x
- Reconhecemos que é EDO separável:
2) Integramos dos dois lados:
- Exponenciando:
4) Use cond. inicial x(1)=2:
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Passo 3
Agora dy/dt = 2t
- É EDO do tipo “derivada = função de t” então basta integrar:
2) Em t=1, y(1)=6 dá
Então
Passo 4
Temos as paramétricas da trajetória:
Para pôr em y(x), eliminamos t:
1) Da expressão de x:
- Substituindo em y(t):
Passo 5
Gráfico: basta traçar
para 0{,}25≤x≤4. Vai sair uma curva suave que em x=2 dá y=6 e se estende pra esquerda/direita.
Resposta
Linha de trajetória (forma explícita):