Encontre o vaor de A.
A=\log _{3} 27-\log 1+\log _{\frac{1}{5}} 125-\operatorname{tg}\left(\left(\frac{3 \pi}{4}\right)+\operatorname{cossec}^{2}\left(\frac{5 \pi}{3}\right)\right).

Passo 1

O enunciado pede para calcular
A = \log_{3}27 \;-\;\log 1\;+\;\log_{\tfrac15}125\;-\;\operatorname{tg}\Bigl(\tfrac{3\pi}{4}+\csc^{2}\bigl(\tfrac{5\pi}{3}\bigr)\Bigr).
Os conteúdos envolvidos são logaritmos (mudança de base e definições básicas) e funções trigonométricas (tangente, seno e cosecante).

Passo 2

Calcular \log_{3}27.
Como 27=3^{3}, temos
\log_{3}27 = 3.

Passo 3

Calcular \log 1.
Qualquer logaritmo de 1 (em qualquer base válida) vale 0, então
\log 1 = 0.

Passo 4

Calcular \log_{\tfrac15}125.
Procuramos x tal que
\Bigl(\tfrac15\Bigr)^{x} = 125 = 5^{3}.
Mas \bigl(\tfrac15\bigr)^{x}=5^{-x}, logo 5^{-x}=5^{3} implica -x=3 e portanto
\log_{\tfrac15}125 = -3.

Passo 5

Somando as partes de logaritmo:
\log_{3}27 \;-\;\log1\;+\;\log_{\tfrac15}125 = 3 - 0 + (-3) = 0.

Passo 6

Calcular \csc^{2}\bigl(\tfrac{5\pi}{3}\bigr).
Sabemos que
\sin\Bigl(\tfrac{5\pi}{3}\Bigr) = \sin\Bigl(2\pi - \tfrac{\pi}{3}\Bigr) = -\sin\Bigl(\tfrac{\pi}{3}\Bigr) = -\frac{\sqrt3}{2}.
Então
\csc\Bigl(\tfrac{5\pi}{3}\Bigr) =\frac{1}{\sin(5\pi/3)} =-\frac{2}{\sqrt3},
e ao quadrado
\csc^{2}\Bigl(\tfrac{5\pi}{3}\Bigr) =\Bigl(-\tfrac{2}{\sqrt3}\Bigr)^{2} =\frac{4}{3}.

Passo 7

O argumento da tangente fica
\tfrac{3\pi}{4} + \csc^{2}\bigl(\tfrac{5\pi}{3}\bigr) = \frac{3\pi}{4} + \frac{4}{3}.
Portanto
\operatorname{tg}\Bigl(\tfrac{3\pi}{4} + \csc^{2}(\tfrac{5\pi}{3})\Bigr) =\operatorname{tg}\Bigl(\tfrac{3\pi}{4} + \tfrac{4}{3}\Bigr).

Passo 8

Juntando tudo em A:
A = \underbrace{0}_{\text{soma dos logs}} \;-\;\operatorname{tg}\Bigl(\tfrac{3\pi}{4} + \tfrac{4}{3}\Bigr) = -\,\operatorname{tg}\Bigl(\tfrac{3\pi}{4} + \tfrac{4}{3}\Bigr).

Resposta

A = -\,\operatorname{tg}\Bigl(\tfrac{3\pi}{4} + \tfrac{4}{3}\Bigr).

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