Parte II - Determine a solução do seguinte problema de valores iniciais, justificando sua resposta:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equações diferenciais juntos! O enunciado nos dá uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O conteúdo que vamos usar aqui inclui resolução de equações diferenciais lineares não homogêneas, usando métodos como a solução geral da equação homogênea e a busca por uma solução particular. Vamos precisar entender bem como encontrar as soluções da parte homogênea e como determinar a solução particular para o lado direito que é
.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial dada:
E as condições iniciais:
Nossa meta é encontrar a função
que satisfaz essa equação e essas condições iniciais.
Passo 3
Vamos começar resolvendo a equação homogênea associada, ou seja, sem o termo
:
Para resolver essa equação, precisamos encontrar a solução geral da homogênea, que envolve resolver a equação característica.
Passo 4
A equação característica para a homogênea é obtida substituindo
:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
.
Passo 5
Usando a fórmula de Bhaskara para resolver
:
Aqui,
,
, e
.
Então, as raízes são complexas:
.
Passo 6
Com raízes complexas da forma
, a solução geral da homogênea é:
Aqui,
e
, então:
Passo 7
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação não homogênea:
Como o lado direito é
, tentamos uma solução particular da forma:
Onde
e
são constantes a serem determinadas.
Passo 8
Vamos calcular as derivadas de
:
Passo 9
Substituímos
,
, e
na equação diferencial:
Simplificando:
Passo 10
Agrupando os termos:
Para
:
Para
:
Igualando aos termos do lado direito:
Passo 11
Resolvendo o sistema de equações:
Da primeira equação:
Substituindo
na segunda equação:
Então:
Passo 12
Agora temos a solução particular:
Passo 13
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Substituindo:
Passo 14
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores de
e
.
Primeiro, para
:
Então:
Passo 15
Agora, calculamos a derivada
:
Simplificando e avaliando em
:
Substituindo
:
Resposta
Assim, a solução do problema de valores iniciais é: