Parte II - Determine a solução do seguinte problema de valores iniciais, justificando sua resposta:
y^prime prime+y^prime+12 y=sen x e y(0))=y^prime(0)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equações diferenciais juntos! O enunciado nos dá uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O conteúdo que vamos usar aqui inclui resolução de equações diferenciais lineares não homogêneas, usando métodos como a solução geral da equação homogênea e a busca por uma solução particular. Vamos precisar entender bem como encontrar as soluções da parte homogênea e como determinar a solução particular para o lado direito que é sin x.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial dada:
y'' + y' + 12 y = sin x
E as condições iniciais:
y(0) = 0 e y'(0) = 0
Nossa meta é encontrar a função y(x) que satisfaz essa equação e essas condições iniciais.

Passo 3

Vamos começar resolvendo a equação homogênea associada, ou seja, sem o termo sin x:
y'' + y' + 12 y = 0
Para resolver essa equação, precisamos encontrar a solução geral da homogênea, que envolve resolver a equação característica.

Passo 4

A equação característica para a homogênea é obtida substituindo y = e^rt:
r^2 + r + 12 = 0
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de r.

Passo 5

Usando a fórmula de Bhaskara para resolver r^2 + r + 12 = 0:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, a = 1, b = 1, e c = 12.
r = -1 pm raiz1 - 22 = -1 pm raiz-12 = -1 pm i2
Então, as raízes são complexas: r = -12 pm i2.

Passo 6

Com raízes complexas da forma r = alpha pm beta i, a solução geral da homogênea é:
yh(x) = e^alpha x ( C1 cos(beta x) + C2 sin(beta x) )
Aqui, alpha = -12 e beta = 12, então:
yh(x) = e^-x2 ( C1 cos(x2) + C2 sin(x2) )

Passo 7

Agora, precisamos encontrar uma solução particular yp(x) para a equação não homogênea:
y'' + y' + 12 y = sin x
Como o lado direito é sin x, tentamos uma solução particular da forma:
yp(x) = A cos x + B sin x
Onde A e B são constantes a serem determinadas.

Passo 8

Vamos calcular as derivadas de yp(x):
yp'(x) = -A sin x + B cos x
yp''(x) = -A cos x - B sin x

Passo 9

Substituímos yp, yp', e yp'' na equação diferencial:
(-A cos x - B sin x) + (-A sin x + B cos x) + 12 (A cos x + B sin x) = sin x
Simplificando:
[-A + B + A2] cos x + [-B - A + B2] sin x = sin x

Passo 10

Agrupando os termos:
Para cos x:
(-A + B + A2) = (-A2 + B)
Para sin x:
(-B - A + B2) = (-A - B2)
Igualando aos termos do lado direito:
-A2 + B = 0 -A - B2 = 1

Passo 11

Resolvendo o sistema de equações:
Da primeira equação:
-A2 + B = 0 Rightarrow B = A2
Substituindo B na segunda equação:
-A - A22 = 1 Rightarrow -A - A4 = 1 Rightarrow -5A4 = 1 Rightarrow A = -45
Então:
B = A2 = -25

Passo 12

Agora temos a solução particular:
yp(x) = -45 cos x - 25 sin x

Passo 13

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
y(x) = yh(x) + yp(x)
Substituindo:
y(x) = e^-x2 ( C1 cos(x2) + C2 sin(x2) ) - 45 cos x - 25 sin x

Passo 14

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores de C1 e C2.
Primeiro, para x = 0:
y(0) = e^0 ( C1 cos 0 + C2 sin 0 ) - 45 cos 0 - 25 sin 0 = C1 - 45 = 0
Então:
C1 = 45

Passo 15

Agora, calculamos a derivada y'(x):
y'(x) = e^-x2 ( -12 ( C1 cos(x2) + C2 sin(x2) ) + C1 ( -12 sin(x2) ) + C2 ( 12 cos(x2) ) ) + 45 sin x - 25 cos x
Simplificando e avaliando em x = 0:
y'(0) = ( -12 C1 + 12 C2 ) - 25 = 0
Substituindo C1 = 45:
-12 cdot 45 + 12 C2 - 25 = 0 Rightarrow -25 + 12 C2 - 25 = 0 Rightarrow 12 C2 = 45 Rightarrow C2 = 85

Resposta

Assim, a solução do problema de valores iniciais é:
y(x) = e^-x2 ( 45 cos(x2) + 85 sin(x2) ) - 45 cos x - 25 sin x

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