PARTE 3 - PRODUTO VETORIAL
8. Sejam os vetores
\vec{u}=(1,2,1), \quad \vec{v}=(2,-1,3)
a) Determine \vec{u} \times \vec{v}.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=(1,2,1) e \vec{v}=(2,-1,3) e pede para determinar \vec{u}\times\vec{v}.
Informações relevantes: os componentes de \vec{u} são \,u_1=1,\;u_2=2,\;u_3=1 e os de \vec{v} são \,v_1=2,\;v_2=-1,\;v_3=3.

Passo 2

O que é o produto vetorial (em palavras simples): dado \vec{u} e \vec{v} em \mathbb{R}^3, o produto vetorial \vec{u}\times\vec{v} é um vetor que
  • é perpendicular (ortogonal) a \vec{u} e a \vec{v};
  • tem magnitude igual à área do paralelogramo gerado por \vec{u} e \vec{v};
  • tem direção dada pela regra da mão direita (sentido tal que \vec{u},\vec{v},\vec{u}\times\vec{v} formem um sistema orientado).
    Vamos calcular seguindo a fórmula componente a componente — isso é o que se faz na prova quando pedem o produto vetorial.

Passo 3

Fórmula componente a componente: para \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3) vale
\vec{u}\times\vec{v}=\big(u_2 v_3 - u_3 v_2,\; u_3 v_1 - u_1 v_3,\; u_1 v_2 - u_2 v_1\big).
Aqui cada u_i e v_i é a componente correspondente dos vetores (por exemplo u_2 é a segunda componente de \vec{u}).

Passo 4

Agora pego as componentes que estavam no enunciado:
u_1=1,\quad u_2=2,\quad u_3=1,
v_1=2,\quad v_2=-1,\quad v_3=3.

Passo 5

Calculo da primeira componente:
\text{(1ª componente)} = u_2 v_3 - u_3 v_2 = 2\cdot 3 - 1\cdot(-1).ª
Compute passo a passo:
2\cdot 3 = 6,\qquad 1\cdot(-1) = -1,
6 - (-1) = 6 + 1 = 7.

Passo 6

Calculo da segunda componente:
\text{(2ª componente)} = u_3 v_1 - u_1 v_3 = 1\cdot 2 - 1\cdot 3.ª
Compute passo a passo:
1\cdot 2 = 2,\qquad 1\cdot 3 = 3,
2 - 3 = -1.

Passo 7

Calculo da terceira componente:
\text{(3ª componente)} = u_1 v_2 - u_2 v_1 = 1\cdot(-1) - 2\cdot 2.ª
Compute passo a passo:
1\cdot(-1) = -1,\qquad 2\cdot 2 = 4,
-1 - 4 = -5.

Passo 8

Juntando as três componentes, o produto vetorial é
\vec{u}\times\vec{v}=(7,-1,-5).

Passo 9

Verificação rápida (útil para a prova): mostrar ortogonalidade calculando produto escalar com \vec{u} e com \vec{v}.
\vec{u}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})=1\cdot7+2\cdot(-1)+1\cdot(-5)=7-2-5=0,
\vec{v}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})=2\cdot7+(-1)\cdot(-1)+3\cdot(-5)=14+1-15=0.
Como os dois produtos escalares deram zero, (7,-1,-5) é ortogonal a \vec{u} e a \vec{v}, confirmando que o resultado faz sentido.

Resposta

(7,-1,-5)

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