- Interpretação geométrica:
b) Se
, o que podemos afirmar?
Passo 1
O enunciado dá a igualdade
.
A pergunta é: o que podemos afirmar a partir dessa igualdade?
A pergunta é: o que podemos afirmar a partir dessa igualdade?
Passo 2
Lembrete útil (definição que vou usar): para dois vetores
e
no plano ou no espaço, o produto escalar pode ser escrito como
onde
é o ângulo entre
e
, com
. Aqui:
-
é o comprimento (módulo) de ; -
é o comprimento (módulo) de ; -
é o cosseno do ângulo entre eles.
Passo 3
Substituindo a expressão do produto escalar na igualdade do enunciado obtemos
A partir daqui podemos tentar dividir por
, mas atenção: dividir por esse produto só é permitido se ele for diferente de zero. Portanto temos que analisar dois casos.
Passo 4
Caso A:
.
Isto significa que pelo menos um dos vetores é o vetor nulo (ex.:
ou
ou ambos). Nesse caso a igualdade do enunciado vale trivialmente porque ambos os lados são zero:
Então podemos afirmar que um (ou ambos) os vetores é nulo. Não se pode, porém, concluir nada sobre um ângulo bem definido entre eles (o ângulo não é significativo se um vetor é nulo).
Passo 5
Caso B:
(ou seja,
e
são ambos não nulos).
Agora é seguro dividir a igualdade por
. Fazendo isso:
O único ângulo no intervalo
com cosseno igual a
é
Logo, geometricamente,
e
apontam em direções opostas — são colineares e têm sentidos contrários.
Passo 6
Escrever a relação entre os vetores em forma vetorial: como
, os versores (vetores unitários) satisfazem
. Então
Isto mostra que
é um múltiplo negativo de
; em particular,
e
são linearmente dependentes, colineares e com sentidos opostos. Intuitivamente: o produto escalar atingiu o menor valor possível
, que ocorre exatamente quando os vetores estão apontando em sentido contrário.
Passo 7
Exemplo concreto (para fixar): tome
e escolha
com sentido oposto; então
. Verificando,
e
concordando com o enunciado.
Resposta
Se
: pelo menos um dos vetores é o vetor nulo.
Se : os vetores são não nulos, o ângulo entre eles é
(180°), ou seja, são colineares e apontam em direções opostas; equivalente a
.
Se