1. Interpretação geométrica:
b) Se \vec{u} \cdot \vec{v}=-|\vec{u}||\vec{v}|, o que podemos afirmar?

Passo 1

O enunciado dá a igualdade
\vec{u}\cdot\vec{v}=-|\vec{u}||\vec{v}|.
A pergunta é: o que podemos afirmar a partir dessa igualdade?

Passo 2

Lembrete útil (definição que vou usar): para dois vetores \vec{u} e \vec{v} no plano ou no espaço, o produto escalar pode ser escrito como
\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}, com 0\le\theta\le\pi. Aqui:
  • |\vec{u}| é o comprimento (módulo) de \vec{u};
  • |\vec{v}| é o comprimento (módulo) de \vec{v};
  • \cos\theta é o cosseno do ângulo entre eles.

Passo 3

Substituindo a expressão do produto escalar na igualdade do enunciado obtemos
|\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta = -|\vec{u}||\vec{v}|.
A partir daqui podemos tentar dividir por |\vec{u}||\vec{v}|, mas atenção: dividir por esse produto só é permitido se ele for diferente de zero. Portanto temos que analisar dois casos.

Passo 4

Caso A: |\vec{u}||\vec{v}|=0.
Isto significa que pelo menos um dos vetores é o vetor nulo (ex.: |\vec{u}|=0 ou |\vec{v}|=0 ou ambos). Nesse caso a igualdade do enunciado vale trivialmente porque ambos os lados são zero:
\vec{u}\cdot\vec{v}=0\quad\text{e}\quad -|\vec{u}||\vec{v}|=0.
Então podemos afirmar que um (ou ambos) os vetores é nulo. Não se pode, porém, concluir nada sobre um ângulo bem definido entre eles (o ângulo não é significativo se um vetor é nulo).

Passo 5

Caso B: |\vec{u}||\vec{v}|\neq 0 (ou seja, \vec{u} e \vec{v} são ambos não nulos).
Agora é seguro dividir a igualdade por |\vec{u}||\vec{v}|. Fazendo isso:
\cos\theta = -1.
O único ângulo no intervalo [0,\pi] com cosseno igual a -1 é
\theta=\pi\quad(\text{ou }180^\circ).
Logo, geometricamente, \vec{u} e \vec{v} apontam em direções opostas — são colineares e têm sentidos contrários.

Passo 6

Escrever a relação entre os vetores em forma vetorial: como \theta=\pi, os versores (vetores unitários) satisfazem \hat{u}=-\hat{v}. Então
\vec{u}=|\vec{u}|\hat{u}=-|\vec{u}|\hat{v}=-\frac{|\vec{u}|}{|\vec{v}|}\,\vec{v}.
Isto mostra que \vec{u} é um múltiplo negativo de \vec{v}; em particular, \vec{u} e \vec{v} são linearmente dependentes, colineares e com sentidos opostos. Intuitivamente: o produto escalar atingiu o menor valor possível -|\vec{u}||\vec{v}|, que ocorre exatamente quando os vetores estão apontando em sentido contrário.

Passo 7

Exemplo concreto (para fixar): tome \vec{v}=(1,0) e escolha |\vec{u}|=2 com sentido oposto; então \vec{u}=(-2,0). Verificando,
\vec{u}\cdot\vec{v}=(-2,0)\cdot(1,0)=-2,
e
-|\vec{u}||\vec{v}| = -(2)(1)=-2,
concordando com o enunciado.

Resposta

Se |\vec{u}||\vec{v}|=0: pelo menos um dos vetores é o vetor nulo.
Se |\vec{u}||\vec{v}|\neq 0: os vetores são não nulos, o ângulo entre eles é \pi (180°), ou seja, são colineares e apontam em direções opostas; equivalente a \vec{u}=-\dfrac{|\vec{u}|}{|\vec{v}|}\,\vec{v}.

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