- Interpretação geométrica:
a) Se
, o que podemos afirmar sobre os vetores?
Passo 1
O enunciado nos dá a informação
e pergunta o que podemos afirmar sobre os vetores
e
.
Informações relevantes dadas:
- A igualdade entre o produto escalar e o produto dos módulos dos vetores.
O que é pedido:
- Descrever geometricamente a relação entre
e (por exemplo: paralelos, perpendicular, mesma direção, sentidos opostos, etc.).
Passo 2
Lembrar a fórmula que relaciona produto escalar, módulos e ângulo entre vetores. Para quaisquer vetores
e
define-se o ângulo
entre eles (com
) e vale a identidade
Explicando cada termo:
-
é o produto escalar: um número obtido somando produtos das componentes correspondentes (ex.: se e então ). -
é o módulo (comprimento) de . -
é o ângulo geométrico entre os vetores, definido por essa fórmula.
Também é útil lembrar (ineg. de Cauchy–Schwarz) que sempre vale
com igualdade quando os vetores são linearmente dependentes (ou seja, quando são colineares).
Passo 3
Substituir a identidade do passo anterior na igualdade do enunciado. Como temos
a condição dada
entra como
Se
(ou seja, nenhum dos vetores é o vetor nulo) podemos dividir ambos os lados por
e obter
A equação
implica
ou seja, os vetores formam ângulo zero entre si — geometricamente têm a mesma direção e sentido.
Passo 4
Interpretando geometricamente a conclusão do passo anterior:
- Quando
, os vetores são colineares e apontam no mesmo sentido. Em palavras simples: um é um múltiplo escalar positivo do outro. Escrevendo isso,
quando ambos são não nulos.
Agora tratar o caso em que pelo menos um vetor é nulo:
- Se
ou , então e também , logo a igualdade dada é satisfeita. Nesse caso a noção de ângulo entre vetores fica indefinida (ou indiferente), mas a igualdade não contradiz nada. Portanto a condição dada permite também que um (ou ambos) sejam o vetor nulo.
Resumo lógico:
- Ou
ou é o vetor nulo (caso trivial), - ou ambos são não nulos e então apontam exatamente na mesma direção (ângulo
), isto é, são colineares com múltiplo escalar positivo.
Passo 5
Dar um exemplo numérico para fixar a ideia:
- Tome
e . Então
Vê-se que
, e realmente
: mesmos sentido e direção.
Como contraste, se
então
e
; isso corresponderia a
e ângulo
(mesma linha mas sentidos opostos).
Passo 6
Dica prática para a prova (passo a passo que dá para aplicar rápido):
- Calcule
. - Calcule
e e depois . - Compare os resultados:
- Se
e , conclua que os vetores têm ângulo (mesma direção e sentido). - Se
e , então algum vetor é nulo (caso admitido).
- Se
- Alternativa rápida: verifique se existe
tal que ; se existir, a igualdade acontece.
Força aí — essa é uma propriedade bem prática e muito usada em geometria vetorial.
Resposta
Os vetores são colineares e têm o mesmo sentido (fazem ângulo
). Em termos algébricos, ou algum vetor é nulo, ou, se ambos não são nulos, existe
tal que
.