1. Interpretação geométrica:
a) Se \vec{u} \cdot \vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|, o que podemos afirmar sobre os vetores?

Passo 1

O enunciado nos dá a informação
\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|
e pergunta o que podemos afirmar sobre os vetores \vec{u} e \vec{v}.
Informações relevantes dadas:
  • A igualdade entre o produto escalar e o produto dos módulos dos vetores.
O que é pedido:
  • Descrever geometricamente a relação entre \vec{u} e \vec{v} (por exemplo: paralelos, perpendicular, mesma direção, sentidos opostos, etc.).

Passo 2

Lembrar a fórmula que relaciona produto escalar, módulos e ângulo entre vetores. Para quaisquer vetores \vec{u} e \vec{v} define-se o ângulo \theta entre eles (com 0\le\theta\le\pi) e vale a identidade
\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta.
Explicando cada termo:
  • \vec{u}\cdot\vec{v} é o produto escalar: um número obtido somando produtos das componentes correspondentes (ex.: se \vec{u}=(u_1,u_2) e \vec{v}=(v_1,v_2) então \vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2).
  • |\vec{u}| é o módulo (comprimento) de \vec{u}.
  • \theta é o ângulo geométrico entre os vetores, definido por essa fórmula.
Também é útil lembrar (ineg. de Cauchy–Schwarz) que sempre vale
|\vec{u}\cdot\vec{v}|\le|\vec{u}||\vec{v}|,
com igualdade quando os vetores são linearmente dependentes (ou seja, quando são colineares).

Passo 3

Substituir a identidade do passo anterior na igualdade do enunciado. Como temos
\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta,
a condição dada
\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|
entra como
|\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta = |\vec{u}||\vec{v}|.
Se |\vec{u}||\vec{v}|\neq0 (ou seja, nenhum dos vetores é o vetor nulo) podemos dividir ambos os lados por |\vec{u}||\vec{v}| e obter
\cos\theta = 1.
A equação \cos\theta=1 implica
\theta = 0,
ou seja, os vetores formam ângulo zero entre si — geometricamente têm a mesma direção e sentido.

Passo 4

Interpretando geometricamente a conclusão do passo anterior:
  • Quando \theta=0, os vetores são colineares e apontam no mesmo sentido. Em palavras simples: um é um múltiplo escalar positivo do outro. Escrevendo isso,
\vec{u}=\lambda\vec{v}\quad\text{com}\quad \lambda>0
quando ambos são não nulos.
Agora tratar o caso em que pelo menos um vetor é nulo:
  • Se |\vec{u}|=0 ou |\vec{v}|=0, então |\vec{u}||\vec{v}|=0 e também \vec{u}\cdot\vec{v}=0, logo a igualdade dada é satisfeita. Nesse caso a noção de ângulo entre vetores fica indefinida (ou indiferente), mas a igualdade não contradiz nada. Portanto a condição dada permite também que um (ou ambos) sejam o vetor nulo.
Resumo lógico:
  • Ou \vec{u} ou \vec{v} é o vetor nulo (caso trivial),
  • ou ambos são não nulos e então apontam exatamente na mesma direção (ângulo 0), isto é, são colineares com múltiplo escalar positivo.

Passo 5

Dar um exemplo numérico para fixar a ideia:
  • Tome \vec{u}=(1,2) e \vec{v}=(2,4). Então
\vec{u}\cdot\vec{v}=1\cdot2+2\cdot4=2+8=10,
|\vec{u}|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5},\qquad |\vec{v}|=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5},
|\vec{u}||\vec{v}|=\sqrt{5}\cdot 2\sqrt{5}=10.
Vê-se que \vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|, e realmente \vec{v}=2\vec{u}: mesmos sentido e direção.
Como contraste, se \vec{w}=(-2,-4) então \vec{u}\cdot\vec{w}=-10 e \vec{u}\cdot\vec{w}=-|\vec{u}||\vec{w}|; isso corresponderia a \cos\theta=-1 e ângulo \theta=\pi (mesma linha mas sentidos opostos).

Passo 6

Dica prática para a prova (passo a passo que dá para aplicar rápido):
  1. Calcule \vec{u}\cdot\vec{v}.
  2. Calcule |\vec{u}| e |\vec{v}| e depois |\vec{u}||\vec{v}|.
  3. Compare os resultados:
    • Se \vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}| e |\vec{u}||\vec{v}|\neq0, conclua que os vetores têm ângulo 0 (mesma direção e sentido).
    • Se |\vec{u}||\vec{v}|=0 e \vec{u}\cdot\vec{v}=0, então algum vetor é nulo (caso admitido).
  4. Alternativa rápida: verifique se existe \lambda>0 tal que \vec{u}=\lambda\vec{v}; se existir, a igualdade acontece.
Força aí — essa é uma propriedade bem prática e muito usada em geometria vetorial.

Resposta

Os vetores são colineares e têm o mesmo sentido (fazem ângulo 0). Em termos algébricos, ou algum vetor é nulo, ou, se ambos não são nulos, existe \lambda>0 tal que \vec{u}=\lambda\vec{v}.

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