PARTE 3 - PRODUTO VETORIAL
8. Sejam os vetores
\vec{u}=(1,2,1), \quad \vec{v}=(2,-1,3)
b) Verifique se o vetor \vec{u} \times \vec{v} é perpendicular a \vec{u} e \vec{v}.

Passo 1

O enunciado dá explicitamente os vetores
\vec{u}=(1,2,1),\qquad \vec{v}=(2,-1,3)
e pede para verificar se o vetor \vec{u}\times\vec{v} é perpendicular a \vec{u} e a \vec{v}.

Passo 2

Para encontrar \vec{u}\times\vec{v} vou usar a fórmula componente a componente. Se
\vec{u}=(u_1,u_2,u_3),\qquad \vec{v}=(v_1,v_2,v_3),
então
\vec{u}\times\vec{v}=\bigl(u_2v_3-u_3v_2,\;u_3v_1-u_1v_3,\;u_1v_2-u_2v_1\bigr).
Explicando: cada componente do produto vetorial é uma diferença de produtos das componentes de \vec{u} e \vec{v}; essa é a forma mais direta para calcular sem escrever determinante.

Passo 3

Agora substituo u_1=1,\;u_2=2,\;u_3=1 e v_1=2,\;v_2=-1,\;v_3=3 na fórmula:
\begin{aligned} \text{1ª componente} &= u_2v_3-u_3v_2 = 2\cdot3 - 1\cdot(-1) = 6 + 1 = 7,\\[4pt] \text{2ª componente} &= u_3v_1-u_1v_3 = 1\cdot2 - 1\cdot3 = 2 - 3 = -1,\\[4pt] \text{3ª componente} &= u_1v_2-u_2v_1 = 1\cdot(-1) - 2\cdot2 = -1 - 4 = -5. \end{aligned}ªªª
Portanto
\vec{u}\times\vec{v}=(7,-1,-5).]

Passo 4

Para verificar perpendicularidade uso a definição baseada no produto escalar (dot product): dois vetores \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3) são perpendiculares se, e somente se,
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3=0.
Vou calcular o produto escalar de \vec{u}\times\vec{v} com \vec{u} e com \vec{v}.

Passo 5

Calculo (\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{u}. Usando \vec{u}\times\vec{v}=(7,-1,-5) e \vec{u}=(1,2,1):
(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{u}=7\cdot1 + (-1)\cdot2 + (-5)\cdot1 = 7 - 2 - 5 = 0.
Como o produto escalar é zero, \vec{u}\times\vec{v} é perpendicular a \vec{u}.

Passo 6

Calculo (\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{v}. Usando \vec{v}=(2,-1,3):
(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{v}=7\cdot2 + (-1)\cdot(-1) + (-5)\cdot3 = 14 + 1 - 15 = 0.
Também deu zero, então \vec{u}\times\vec{v} é perpendicular a \vec{v}.

Passo 7

Conclusão e dica rápida: obtivemos \vec{u}\times\vec{v}=(7,-1,-5) e os dois produtos escalares com \vec{u} e \vec{v} deram zero; portanto \vec{u}\times\vec{v} é perpendicular a ambos. (Dica para prova: sempre que precisar mostrar perpendicularidade do produto vetorial, calcular o produto escalar e verificar que é zero é a maneira direta.)

Resposta

Sim. \vec{u}\times\vec{v}=(7,-1,-5) e (\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{u}=0,\;(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{v}=0.

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