Se a parte superior de uma escada de 30 d m de comprimento está apoiada em uma parede e desliza, para baixo, à razão de 12 dm / seg, qual é a razão de variação da medida do ângulo agudo formado pela escada e o solo quando a parte superior da escada estiver a 18 dm do solo?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma escada de 30 dm que está encostada numa parede e está deslizando para baixo a uma velocidade de 12 dm/s. Queremos descobrir quão rápido o ângulo entre a escada e o chão está mudando quando o topo da escada está a 18 dm do chão. Vamos usar trigonometria e cálculo de taxas relacionadas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar um triângulo retângulo onde:
  • A hipotenusa é a escada, com comprimento 30 dm.
  • A altura é a distância do topo da escada à parede, que chamaremos de y.
  • A base é a distância da base da escada ao ponto onde está tocando o chão, que chamaremos de x.
  • O ângulo agudo entre a escada e o chão é theta.

Passo 3

Sabemos que:
y = 30 sin theta
Isso vem da definição do seno em trigonometria, onde seno do ângulo é o cateto oposto sobre a hipotenusa.

Passo 4

Vamos diferenciar ambos os lados em relação ao tempo t para encontrar a taxa de variação:
dydt = 30 cos theta cdot dthetadt
Aqui, usamos a regra da cadeia na derivada.

Passo 5

Queremos encontrar dthetadt, então vamos isolar essa expressão:
dthetadt = dydt30 cos theta

Passo 6

Sabemos que dydt = -12 dm/s (negativo porque y está diminuindo). Agora precisamos encontrar cos theta quando y = 18 dm.

Passo 7

Usando o triângulo retângulo, temos:
sin theta = y30 = 1830 = 35
Então,
cos theta = raiz1 - sin^2 theta = raiz1 - (35)^2 = raiz1 - 925 = raiz1625 = 45

Passo 8

Agora substituímos os valores na fórmula:
dthetadt = -1230 cdot 45 = -1224 = -148 rad/s

Resposta

A taxa de variação do ângulo é -148 radianos por segundo.

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