Se a parte superior de uma escada de
de comprimento está apoiada em uma parede e desliza, para baixo, à razão de
, qual é a razão de variação da medida do ângulo agudo formado pela escada e o solo quando a parte superior da escada estiver a 18 dm do solo?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma escada de 30 dm que está encostada numa parede e está deslizando para baixo a uma velocidade de
dm/s. Queremos descobrir quão rápido o ângulo entre a escada e o chão está mudando quando o topo da escada está a 18 dm do chão. Vamos usar trigonometria e cálculo de taxas relacionadas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar um triângulo retângulo onde:
- A hipotenusa é a escada, com comprimento
dm. - A altura é a distância do topo da escada à parede, que chamaremos de
. - A base é a distância da base da escada ao ponto onde está tocando o chão, que chamaremos de
. - O ângulo agudo entre a escada e o chão é
.
Passo 3
Sabemos que:
Isso vem da definição do seno em trigonometria, onde seno do ângulo é o cateto oposto sobre a hipotenusa.
Passo 4
Vamos diferenciar ambos os lados em relação ao tempo
para encontrar a taxa de variação:
Aqui, usamos a regra da cadeia na derivada.
Passo 5
Queremos encontrar
, então vamos isolar essa expressão:
Passo 6
Sabemos que
dm/s (negativo porque
está diminuindo). Agora precisamos encontrar
quando
dm.
Passo 7
Usando o triângulo retângulo, temos:
Então,
Passo 8
Agora substituímos os valores na fórmula:
Resposta
A taxa de variação do ângulo é
radianos por segundo.