Partes real e imaginária Denote por \operatorname{Re}(z) a parte real de z \mathrm{e} \operatorname{Im}(z) a parte imaginária. Mostre que as seguintes relações são válidas para quaisquer números complexos z, z_{1} \mathrm{e} z_{2}.
\left|z_{1}+z_{2}\right|^{2}=\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{2}\right|^{2}+2 \operatorname{Re}\left(z_{1} \bar{z}_{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade
\bigl|z_{1}+z_{2}\bigr|^{2} = \bigl|z_{1}\bigr|^{2} + \bigl|z_{2}\bigr|^{2} + 2\,\Re\bigl(z_{1}\,\overline{z_{2}}\bigr)
para quaisquer z_{1},z_{2}\in\mathbb{C}.
Conteúdo: usamos propriedades de módulo e conjugado de números complexos.

Passo 2

Usamos a definição \lvert w\rvert^{2}=w\,\overline w e a linearidade do conjugado em soma, isto é,
\overline{z_{1}+z_{2}} = \overline{z_{1}}+\overline{z_{2}}.
Logo
\bigl|z_{1}+z_{2}\bigr|^{2} = (z_{1}+z_{2})\,\overline{(z_{1}+z_{2})} = (z_{1}+z_{2})\,(\overline z_{1}+\overline z_{2}).

Passo 3

Expandindo esse produto, obtemos
(z_{1}+z_{2})(\overline z_{1}+\overline z_{2}) = z_{1}\,\overline z_{1} + z_{1}\,\overline z_{2} + z_{2}\,\overline z_{1} + z_{2}\,\overline z_{2}.

Passo 4

Note que
z_{1}\,\overline z_{1}=\bigl|z_{1}\bigr|^{2}, \quad z_{2}\,\overline z_{2}=\bigl|z_{2}\bigr|^{2},
e que z_{2}\,\overline z_{1} é o conjugado de z_{1}\,\overline z_{2}, portanto
z_{1}\,\overline z_{2}+z_{2}\,\overline z_{1} = 2\,\Re\bigl(z_{1}\,\overline z_{2}\bigr).
Assim
\bigl|z_{1}+z_{2}\bigr|^{2} = \bigl|z_{1}\bigr|^{2} + \bigl|z_{2}\bigr|^{2} + 2\,\Re\bigl(z_{1}\,\overline z_{2}\bigr).

Resposta

\bigl|z_{1}+z_{2}\bigr|^{2} = \bigl|z_{1}\bigr|^{2} + \bigl|z_{2}\bigr|^{2} + 2\,\Re\bigl(z_{1}\,\overline{z_{2}}\bigr).

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