Partes real e imaginária Denote por \operatorname{Re}(z) a parte real de z \mathrm{e} \operatorname{Im}(z) a parte imaginária. Mostre que as seguintes relações são válidas para quaisquer números complexos z, z_{1} \mathrm{e} z_{2}.
|\operatorname{Re}(z)| \leq|z|

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo número complexo z, vale
|\Re(z)|\le|z|.
Vamos usar a representação cartesiana de z e a definição de módulo de um número complexo.

Passo 2

Seja
z = x + i y,
onde x = \Re(z) e y = \Im(z). Então
|z| = \sqrt{x^2 + y^2} \quad\text{e}\quad |\Re(z)| = |x| = \sqrt{x^2}.
Como y^2 \ge 0, temos
x^2 \le x^2 + y^2 \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{x^2}\le\sqrt{x^2 + y^2},
ou seja,
|x|\le\sqrt{x^2+y^2} \quad\Longrightarrow\quad |\Re(z)|\le|z|.

Resposta

\displaystyle |\Re(z)|\le|z|

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