Determine a transformada inversa de Laplace.
mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{s}{s^{2}-4 s+5}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
\frac{s}{s^{2}-4\,s+5}.
O conteúdo principal envolve uso de linearidade, deslocamento no domínio de s (completamento do quadrado) e aplicação das fórmulas básicas
\mathscr{L}\{e^{a t}\cos(b t)\}=\frac{s-a}{(s-a)^{2}+b^{2}}, \quad \mathscr{L}\{e^{a t}\sin(b t)\}=\frac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}}.

Passo 2

Vamos completar o quadrado no denominador:
s^{2}-4\,s+5 = (s-2)^{2}+1.

Passo 3

Decompomos o numerador escrevendo
s = (s-2)+2,
de modo que
\frac{s}{s^{2}-4\,s+5} = \frac{(s-2)+2}{(s-2)^{2}+1} = \frac{s-2}{(s-2)^{2}+1} \;+\;\frac{2}{(s-2)^{2}+1}.

Passo 4

Comparando com as fórmulas conhecidas, para a=2 e b=1 temos
\mathscr{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{s-2}{(s-2)^{2}+1}\Bigr\} = e^{2t}\cos t, \qquad \mathscr{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{1}{(s-2)^{2}+1}\Bigr\} = e^{2t}\sin t.
Portanto
\mathscr{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{2}{(s-2)^{2}+1}\Bigr\} = 2\,e^{2t}\sin t.

Passo 5

Somando as duas partes obtemos
f(t) = e^{2t}\cos t \;+\;2\,e^{2t}\sin t = e^{2t}\bigl(\cos t + 2\sin t\bigr).

Resposta

e^{2t}\bigl(\cos t + 2\sin t\bigr).

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