Para encontrar a transformada de Laplace mathscr{L}\{f(t)\}\). \(f(t)= \begin{cases}t, & c \leq t<1 \\\\ 1, & t \geq 1\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de uma função em partes
f(t)= \begin{cases} t, & 0 \le t < 1,\\\\ 1, & t \ge 1. \end{cases}
O conteúdo é a definição da transformada de Laplace
\mathscr{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt,
e vamos usá-la dividindo o integral em dois trechos em t=1.

Passo 2

Escrevemos
\mathscr{L}\{f\}(s) =\int_{0}^{1}e^{-st}\,t\,dt +\int_{1}^{\infty}e^{-st}\cdot 1\,dt.
Assim separamos os dois comportamentos de f(t).

Passo 3

Para o primeiro integral usamos integração por partes: seja
u=t,\quad dv=e^{-st}dt\quad\Longrightarrow\quad du=dt,\quad v=-\frac{1}{s}e^{-st}.
Logo
\int_{0}^{1}t\,e^{-st}dt =\Bigl.-\frac{t}{s}e^{-st}\Bigr|_{0}^{1} +\frac{1}{s}\int_{0}^{1}e^{-st}dt.
Calculando cada termo:
-\frac{1}{s}e^{-s}-0 +\frac{1}{s}\Bigl[-\frac{1}{s}e^{-st}\Bigr]_{0}^{1} =-\frac{e^{-s}}{s}+\frac{1}{s}\cdot\frac{1-e^{-s}}{s} =\frac{1-e^{-s}}{s^{2}}-\frac{e^{-s}}{s}.

Passo 4

O segundo integral é direto:
\int_{1}^{\infty}e^{-st}dt =\Bigl.-\frac{1}{s}e^{-st}\Bigr|_{1}^{\infty} =\frac{1}{s}e^{-s}.

Passo 5

Somando os resultados dos dois trechos:
\mathscr{L}\{f\}(s) =\Bigl(\frac{1-e^{-s}}{s^{2}}-\frac{e^{-s}}{s}\Bigr) +\frac{e^{-s}}{s} =\frac{1-e^{-s}}{s^{2}}.

Resposta

\mathscr{L}\{f(t)\}(s)=\frac{1-e^{-s}}{s^{2}}.

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