Verifique que a equação anterior já se encontra em uma forma covariante se admitirmos (onde é a velocidade da luz) como a primeira componente do novo gradiente e que a equação anterior pode ser escrita como um divergente de um campo vetorial com 4 componentes. Verifique que a componente temporal desse vetor é .
Passo 1
Beleza, o enunciado tá pedindo pra mostrar que a equação de continuidade
já está numa forma “covariante” se a gente tratar como a primeira componente do gradiente em 4D, e que dá pra escrever isso como a divergência de um 4-vetor cujas componentes são , sendo a parte temporal igual a .
Conteúdo: cálculo vetorial básico (divergente, gradiente) e introdução rápida de 4-vetores na Relatividade Restrita. Vamos precisar definir coordenada temporal e mostrar como montar o 4-gradiente e o 4-corrente.
Passo 2
Primeiro, lembra da equação de continuidade clássica:
O que queremos é encaixar isso num único objeto covariante. Na Relatividade, a gente junta tempo e espaço num “espaço de 4 dimensões” com coordenadas onde a gente define
Passo 3
Agora define o 4-gradiente como
Como , temos
E claro que são as derivadas espaciais que juntos formam o operador .
Passo 4
A ideia é achar um 4-vetor cuja divergente reproduza a equação de continuidade clássica. Se a gente escrever
isso significa
Substituindo dá
Passo 5
Agora a gente quer recuperar 1c,partial J^0partial t + nablacdotJ = 0. Comparando com
J^0 = c,rho,
vemos que basta escolher 1cpartial (c,rho)partial t = partial rhopartial t
porque aí
Resposta
A equação de continuidade fica na forma covariante
partialmu J^mu = 0,
onde definimos o 4-corrente J^mu = (,J^0,,J^i) = (,c,rho,;J,)