partial rhopartial t+nabla cdot J=0
Verifique que a equação anterior já se encontra em uma forma covariante se admitirmos partial / partial(c t) (onde c é a velocidade da luz) como a primeira componente do novo gradiente e que a equação anterior pode ser escrita como um divergente de um campo vetorial com 4 componentes. Verifique que a componente temporal desse vetor é c rho.

Passo 1

Beleza, o enunciado tá pedindo pra mostrar que a equação de continuidade
partial rhopartial t + nablacdot J = 0
já está numa forma “covariante” se a gente tratar partial/partial(ct) como a primeira componente do gradiente em 4D, e que dá pra escrever isso como a divergência de um 4-vetor cujas componentes são (temporal;,espaciais), sendo a parte temporal igual a c,rho.
Conteúdo: cálculo vetorial básico (divergente, gradiente) e introdução rápida de 4-vetores na Relatividade Restrita. Vamos precisar definir coordenada temporal x^0 = c,t e mostrar como montar o 4-gradiente e o 4-corrente.

Passo 2

Primeiro, lembra da equação de continuidade clássica:
partial rhopartial t + nablacdot J = 0
O que queremos é encaixar isso num único objeto covariante. Na Relatividade, a gente junta tempo e espaço num “espaço de 4 dimensões” com coordenadas x^mu = (x^0,,x^1,,x^2,,x^3) onde a gente define
x^0 = c,t, x^i = coordenadas espaciais

Passo 3

Agora define o 4-gradiente como
partialmu equiv partialpartial x^mu = l(partialpartial x^0,,partialpartial x^ir)
Como x^0 = c,t, temos
partialpartial x^0 = partialpartial (c,t) = 1c,partialpartial t
E claro que partiali = partial/partial x^i são as derivadas espaciais que juntos formam o operador nabla.

Passo 4

A ideia é achar um 4-vetor partialmu J^mu = 0 cuja divergente underbracepartialpartial x^0J^0tempo + underbracepartiali J^inablacdotJ = 0 reproduza a equação de continuidade clássica. Se a gente escrever
1c,partial J^0partial t + nablacdotJ = 0
isso significa
Substituindo

Passo 5

Agora a gente quer recuperar 1c,partial J^0partial t + nablacdotJ = 0. Comparando com
J^0 = c,rho,
vemos que basta escolher
1cpartial (c,rho)partial t = partial rhopartial t
porque aí

Resposta

A equação de continuidade fica na forma covariante
partialmu J^mu = 0,
onde definimos o 4-corrente
J^mu = (,J^0,,J^i) = (,c,rho,;J,)
A componente temporal desse 4-vetor é, de fato, .

Exercícios relacionados