onde os valores possíveis para
e
estão entre
e
. (a) Encontre a transformação de coordenadas inversa. (b) Determine as curvas de coordenadas desse sistema e verifique que elas não são ortogonais. © Construa a base de vetores tangentes e a base dual e verifique elas são diferentes.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos uma mudança de coordenadas do tipo
onde
.
Conteúdo: sistema de coordenadas e cálculo de transformações inversas, curvas de coordenadas, base tangente e base dual (uma introdução a formas diferenciais).
O que vamos precisar:
Conteúdo: sistema de coordenadas e cálculo de transformações inversas, curvas de coordenadas, base tangente e base dual (uma introdução a formas diferenciais).
O que vamos precisar:
- Resolver o sistema linear para achar
em função de . - Entender que as curvas de coordenadas são obtidas mantendo dois parâmetros fixos e variando só um.
- Saber que a base tangente é dada pelos vetores
e que a base dual é o conjunto de 1-formas que fazem .
Passo 2
Começamos resolvendo
Somando e subtraindo:
Agora, da terceira equação
, isolamos
:
Logo, a inversa é
Passo 3
As curvas de coordenadas são:
-
-curva: varia , mantém e fixos. -
-curva: varia , mantém e fixos. -
-curva: varia , mantém e fixos.
O vetor posição é
. Então a base tangente é
Para ver se são ortogonais, calculamos produto escalar (no espaço euclidiano padrão):
logo
e
não são ortogonais. Assim o sistema não é ortogonal.
Passo 4
Já temos a base tangente:
Para achar a base dual
fazemos:
- Escrevemos as 1-formas
em termos de :
dx = du + dv,
dy = du – dv,
dz = 2v,du + 2u,dv + dw. - Invertendo o sistema:
du = (dx + dy)/2,
dv = (dx – dy)/2,
dw = dz – 2v,du – 2u,dv
= dz – v,(dx+dy) – u,(dx–dy). - Logo tomamos
,
,
.
Verificamos então que.
Fica claro que a base dual (1-formas) é diferente da base tangente (vetores).
Resposta
(a)
(b) As curvas de coordenadas vêm de ; e
, então não são ortogonais.
© Base tangente ,
,
; base dual
,
,
; elas são diferentes porque uma é conjunto de vetores e outra de 1-formas.
(b) As curvas de coordenadas vêm de
© Base tangente