x=u+v, y=u-v, e z=2 u v+w
onde os valores possíveis para u, v e w estão entre -infty e infty. (a) Encontre a transformação de coordenadas inversa. (b) Determine as curvas de coordenadas desse sistema e verifique que elas não são ortogonais. © Construa a base de vetores tangentes e a base dual e verifique elas são diferentes.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma mudança de coordenadas do tipo
x = u + v, y = u - v, z = 2,u,v + w,
onde .
Conteúdo: sistema de coordenadas e cálculo de transformações inversas, curvas de coordenadas, base tangente e base dual (uma introdução a formas diferenciais).
O que vamos precisar:
  • Resolver o sistema linear para achar em função de .
  • Entender que as curvas de coordenadas são obtidas mantendo dois parâmetros fixos e variando só um.
  • Saber que a base tangente é dada pelos vetores e que a base dual é o conjunto de 1-formas que fazem .

Passo 2

Começamos resolvendo
x = u + v, y = u - v
Somando e subtraindo:
u = tfracx+y2, v = tfracx-y2
Agora, da terceira equação w = z - 2,u,v = z - 2cdotx+y2cdotx-y2 = z - x^2 - y^22 , isolamos u = x+y2, v = x-y2, w = z - x^2 - y^22 :
Logo, a inversa é

Passo 3

As curvas de coordenadas são:
  • ru = l(partial x/partial u,;partial y/partial u,;partial z/partial ur) = (1,,1,,2v), -curva: varia rv = (1,,-1,,2u), , mantém rw = (0,,0,,1) e ru!cdot! rv = 1cdot1 + 1cdot(-1) + (2v)(2u) = 0 + 4uv ;neq0;(>=ralmente), fixos.
  • -curva: varia , mantém e fixos.
  • -curva: varia , mantém e fixos.
O vetor posição é . Então a base tangente é
Para ver se são ortogonais, calculamos produto escalar (no espaço euclidiano padrão):
logo e não são ortogonais. Assim o sistema não é ortogonal.

Passo 4

Já temos a base tangente:
eu = ru = (1,1,2v), ev = rv = (1,-1,2u), ew = rw = (0,0,1)
Para achar a base dual fazemos:
  1. Escrevemos as 1-formas em termos de :
    dx = du + dv,
    dy = du – dv,
    dz = 2v,du + 2u,dv + dw.
  2. Invertendo o sistema:
    du = (dx + dy)/2,
    dv = (dx – dy)/2,
    dw = dz – 2v,du – 2u,dv
    = dz – v,(dx+dy) – u,(dx–dy).
  3. Logo tomamos
    ,
    ,
    .
    Verificamos então que .
    Fica claro que a base dual (1-formas) é diferente da base tangente (vetores).

Resposta

(a)
(b) As curvas de coordenadas vêm de ; e , então não são ortogonais.
© Base tangente , , ; base dual , , ; elas são diferentes porque uma é conjunto de vetores e outra de 1-formas.

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