Vetores contra e covariantes I. Existem, na verdade, dois tipos de vetores no que diz respeito à regra de transformação de suas componentes perante uma mudança de sistema de coordenadas. (b) Considere agora a transformação da componentes do gradiente de um campo escalar
qualquer. Mostre que suas componentes se transformam como
ou seja, segue a regra
.
Passo 1
Então, o exercício pede pra gente mostrar que, se você tem um campo escalar ψ que depende de coordenadas cartesianas (x,y), as componentes do gradiente dele em um novo par de coordenadas
(por exemplo, coordenadas polares) obedecem à regra da cadeia
O conteúdo aqui é:
- Definição de gradiente
. - Regra da cadeia em várias variáveis.
- Relação entre derivada em nova coordenada e produto escalar com o vetor unitário correspondente.
Vamos precisar só da regra da cadeia e da definição geométrica de gradiente.
Passo 2
Primeiro, lembra que
ou seja, ψ é originalmente função de x e y, mas x e y agora são vistas como funções de
. Aí sempre que você quiser derivar ψ em relação a
(com μ = r ou φ), usa a regra da cadeia.
Passo 3
Aplica a regra da cadeia pra derivada parcial:
Aqui não pulei nada: é exatamente a forma geral da regra da cadeia quando você tem duas “variáveis intermediárias” x e y.
Passo 4
Por outro lado, o gradiente em coordenadas cartesianas é
E o vetor unitário contravariante na direção
(vulgo
) pode ser escrito como
Passo 5
Agora faz o produto escalar
:
Como
,
e
, isso vira exatamente
que é igual ao que obtivemos pela regra da cadeia.
Resposta
Mostramos que, para qualquer campo escalar ψ e qualquer mudança de coordenadas
, as componentes do gradiente transformam-se segundo
isto é,
.