Vetores contra e covariantes I. Existem, na verdade, dois tipos de vetores no que diz respeito à regra de transformação de suas componentes perante uma mudança de sistema de coordenadas. (b) Considere agora a transformação da componentes do gradiente de um campo escalar psi(r) qualquer. Mostre que suas componentes se transformam como
(nabla psi cdot er) & =partial psipartial sr=partial xpartial sr partial psipartial x+partial ypartial sr partial psipartial y (nabla psi cdot evarphi) & =partial psipartial svarphi=partial xpartial svarphi partial psipartial x+partial ypartial svarphi partial psipartial y
ou seja, segue a regra partial psi / partial smu=sumj(partial xj / partial smu) partial psi / partial xj.

Passo 1

Então, o exercício pede pra gente mostrar que, se você tem um campo escalar ψ que depende de coordenadas cartesianas (x,y), as componentes do gradiente dele em um novo par de coordenadas partial psipartial smu =sumjpartial xjpartial smu,partial psipartial xj, (por exemplo, coordenadas polares) obedecem à regra da cadeia
O conteúdo aqui é:
  • Definição de gradiente .
  • Regra da cadeia em várias variáveis.
  • Relação entre derivada em nova coordenada e produto escalar com o vetor unitário correspondente.
Vamos precisar só da regra da cadeia e da definição geométrica de gradiente.

Passo 2

Primeiro, lembra que
psi=psil(x(sr,svarphi),,y(sr,svarphi)r),
ou seja, ψ é originalmente função de x e y, mas x e y agora são vistas como funções de . Aí sempre que você quiser derivar ψ em relação a (com μ = r ou φ), usa a regra da cadeia.

Passo 3

Aplica a regra da cadeia pra derivada parcial:
partial psipartial smu =partial psipartial x,partial xpartial smu +partial psipartial y,partial ypartial smu,
Aqui não pulei nada: é exatamente a forma geral da regra da cadeia quando você tem duas “variáveis intermediárias” x e y.

Passo 4

Por outro lado, o gradiente em coordenadas cartesianas é
nablapsi =partial psipartial x, ex +partial psipartial y, ey
E o vetor unitário contravariante na direção emu =partial rpartial smu =partial xpartial smu, ex +partial ypartial smu, ey (vulgo ) pode ser escrito como

Passo 5

Agora faz o produto escalar nablapsicdot emu =l(partial psipartial xhat ex+partial psipartial yhat eyr) cdot l(partial xpartial smuhat ex+partial ypartial smuhat eyr) :
nablapsicdot emu =partial psipartial x,partial xpartial smu +partial psipartial y,partial ypartial smu
Como , e , isso vira exatamente
que é igual ao que obtivemos pela regra da cadeia.

Resposta

Mostramos que, para qualquer campo escalar ψ e qualquer mudança de coordenadas partial psipartial smu =sumjpartial xjpartial smu,partial psipartial xj, , as componentes do gradiente transformam-se segundo
isto é, .

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