Vetor é um tensor de ordem um. Analogamente ao problema anterior, um vetor pode ser visto como um tensor de ordem 1. As componentes de um vetor não permanecem invariantes por uma transformação arbitrária de um sistema de coordenadas a outro. Ao contrário, vetores podem ser caracterizados algebricamente por terem componentes que obedecem uma regra de transformação específica. (a) Considerando a transformação entre dois sistemas de coordenadas retangulares do problema anterior, encontre a regra de transformação das componentes do vetor posição r de um ponto qualquer.

Passo 1

Beleza, manda ver no resumo da treta: a questão fala que um vetor (aqui, o vetor posição r de um ponto em 3D) tem componentes que mudam quando você troca de um sistema de coordenadas retangulares para outro (tipo girar o eixo). O conteúdo é transformação de coordenadas em vetores (tensor de ordem 1). Pra resolver, a gente vai precisar:
  1. Saber que qualquer vetor pode ser escrito em duas bases (velha e nova).
  2. Usar que a base antiga e a base nova são ortonormais e que o produto escalar entre vetores de base dá “cossenos diretores”.
  3. Projetar o vetor na nova base e relacionar com as componentes na base antiga.

Passo 2

Primeiro, escrevemos o vetor posição r em cada base. Na base antiga (e_j) temos
r = rj, ej,
e na base nova (e’_i) também deve valer
r = r'i, e'i
Aqui estou usando a convenção de soma de Einstein: índice repetido soma.

Passo 3

Pra achar r’_i, basta projetar r sobre o vetor de base novo e’_i, ou seja, usar o produto escalar:
r'i = e'i cdot r
Substituindo r'i = e'i cdot (rj, ej) = rj;( e'icdot ej) , fica

Passo 4

O termo aij ;=; e'icdot ej é o cosseno do ângulo entre a direção r'i = aij,rj e . A gente define
(essa matriz é a matriz de rotação, ou matriz de cossenos diretores). Assim

Resposta

Logo, a regra de transformação das componentes do vetor posição é
boxedr'i = aij,rj,
onde são os cossenos diretores entre as bases nova e antiga.

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