A particle of mass m moving in one dimension has potential energy U(x)= U0[2(x / a)^2-(x / a)^4], where U0 and a are positive constants. What is the minimum speed the particle must have at the origin to escape to infinity?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem uma partícula de massa m que se move ao longo do eixo x, com energia potencial
U(x)=U0l[2l(tfracxar)^2-l(tfracxar)^4r],
sendo U0 e a constantes positivas. A questão é: qual a velocidade mínima que a partícula precisa ter em x=0 para escapar lá para o infinito?
Conteúdo envolvido: mecânica clássica (energia potencial e cinética) e conservação de energia. A gente vai precisar também achar os pontos críticas de U(x) usando derivada, para descobrir qual é a “barreira” que precisa ser vencida.

Passo 2

Primeiro, vamos achar onde estão os extremos de U(x). A gente calcula a derivada:
$$U’(x)=\frac{d}{dx}\biggl(U_{0}\bigl[2(x/a){2}-(x/a){4}\bigr]\biggr)
=U_{0},\frac{4x}{a{2}}\Bigl[1-\bigl(\tfrac{x}{a}\bigr){2}\Bigr].$$
Para U'(x)=ddxgl(U0l[2(x/a)^2-(x/a)^4r]gr) =U0,4xa^2l[1-l(tfracxar)^2r] temos as soluções
1) U'(x)=0,
2) x=0.
Testando, x=pm a é um mínimo local (ali x=0) e U(0)=0 é um máximo local (ali x=a). Esse máximo em U(a)=U0[2cdot1-1]=U0 é a barreira que a partícula tem que ultrapassar pra escapar.

Passo 3

Agora, energia total E é conservada:
E=K+U=tfrac12,m,v^2+U(x)
Para a partícula escapar até o infinito, ela precisa ter energia total maior ou igual ao valor do potencial no pico da barreira, U(a)=U0.
No ponto inicial x=0, a energia potencial é U(0)=0, então toda energia é cinética:
E=tfrac12,m,v^2em x=0
Condição de escape:
tfrac12,m,v^2;>=;U0

Passo 4

A gente resolve essa desigualdade pra v:
$$\tfrac12,m,v^2=U_{0}\quad\Longrightarrow\quad v^2=\frac{2U_{0}}{m}
\quad\Longrightarrow\quad v=\sqrt{\frac{2U_{0}}{m}},. $$
Então essa é a velocidade mínima que a gente precisa dar na partícula em tfrac12,m,v^2=U0Longrightarrow v^2=2U0m Longrightarrow v=raiz2U0m, para ela conseguir superar a barreira em x=0 e escapar ao infinito.

Resposta

vmin=raiz2,U0m,

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