A particle of mass
moving in one dimension has potential energy
, where
and
are positive constants. What is the minimum speed the particle must have at the origin to escape to infinity?
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a gente tem uma partícula de massa
que se move ao longo do eixo
, com energia potencial
sendo
Conteúdo envolvido: mecânica clássica (energia potencial e cinética) e conservação de energia. A gente vai precisar também achar os pontos críticas de
Passo 2
Primeiro, vamos achar onde estão os extremos de
. A gente calcula a derivada:
$$U’(x)=\frac{d}{dx}\biggl(U_{0}\bigl[2(x/a){2}-(x/a){4}\bigr]\biggr)
=U_{0},\frac{4x}{a{2}}\Bigl[1-\bigl(\tfrac{x}{a}\bigr){2}\Bigr].$$
Para temos as soluções
1) ,
2) .
Testando, é um mínimo local (ali
) e
é um máximo local (ali
). Esse máximo em
é a barreira que a partícula tem que ultrapassar pra escapar.
Para
1)
2)
Testando,
Passo 3
Agora, energia total
é conservada:
Para a partícula escapar até o infinito, ela precisa ter energia total maior ou igual ao valor do potencial no pico da barreira,
No ponto inicial
Condição de escape:
Passo 4
A gente resolve essa desigualdade pra
:
$$\tfrac12,m,v^2=U_{0}\quad\Longrightarrow\quad v^2=\frac{2U_{0}}{m}
\quad\Longrightarrow\quad v=\sqrt{\frac{2U_{0}}{m}},. $$
Então essa é a velocidade mínima que a gente precisa dar na partícula em para ela conseguir superar a barreira em
e escapar ao infinito.
Então essa é a velocidade mínima que a gente precisa dar na partícula em