2.6 A particle of mass
moves along a frictionless, horizontal plane with a speed given by
, where
is its distance from the origin and
is a positive constant. Find the force
to which the particle is subject.
Passo 1
O enunciado dá que a velocidade da partícula depende de sua posição segundo
, onde
é a distância ao origem e
é uma constante. A partícula tem massa
.\n
O que o problema pede: encontrar a força a que a partícula está sujeita, isto é, expressar
como função de
.
O que o problema pede: encontrar a força
Passo 2
Plano de ataque (apenas o que vamos usar, sem resolver ainda).\n
- A segunda lei de Newton relaciona força e aceleração por
, onde é a massa e é a aceleração (variação da velocidade no tempo).\n - A aceleração escalar ao longo da trajetória pode ser escrita usando a derivada de
em relação a . Mas temos dado como função de , não de . Usamos então a regra da cadeia para derivadas: . Como , segue a fórmula prática
Aqui cada símbolo significa:
-
: velocidade escalar em função da posição . -
: derivada da velocidade em relação à posição. -
: aceleração escalar ao longo da direção do movimento.
Usaremos então.
Passo 3
Calcular
a partir de
.\n
Primeiro reescrever . Derivando em relação a
:
Primeiro reescrever
Passo 4
Calcular a aceleração usando
.\n
Substituindo e
:
Substituindo
Portanto a aceleração escalar é
. O sinal negativo indica que a aceleração aponta no sentido de diminuir
(isto é, dirigida para o origem).
Passo 5
Aplicar a segunda lei de Newton para obter a força.\n
Interpretando: a força tem módulo
e é dirigida para o origem (sinal negativo no eixo positivo de
).
Passo 6
Comentário didático rápido (opcional, para fixar o conceito).\n
- A fórmula usada
vem da regra da cadeia: e .\n - Se quiser, a força é conservativa (dependendo apenas de
) e tem potencial associado tal que . Integrando:
onde
é constante arbitrária.