2.6 A particle of mass m moves along a frictionless, horizontal plane with a speed given by v(x)=\alpha / x, where x is its distance from the origin and \alpha is a positive constant. Find the force F(x) to which the particle is subject.

Passo 1

O enunciado dá que a velocidade da partícula depende de sua posição segundo \,v(x)=\dfrac{\alpha}{x}\,, onde \,x\ge 0\, é a distância ao origem e \,\alpha>0\, é uma constante. A partícula tem massa \,m.\n
O que o problema pede: encontrar a força \,F(x)\, a que a partícula está sujeita, isto é, expressar \,F\, como função de \,x.

Passo 2

Plano de ataque (apenas o que vamos usar, sem resolver ainda).\n
  • A segunda lei de Newton relaciona força e aceleração por \,F=ma\,, onde \,m\, é a massa e \,a é a aceleração (variação da velocidade no tempo).\n
  • A aceleração escalar ao longo da trajetória pode ser escrita usando a derivada de \,v em relação a \,t. Mas temos \,v dado como função de \,x, não de \,t. Usamos então a regra da cadeia para derivadas: \displaystyle a=\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt}. Como \,dx/dt=v\,, segue a fórmula prática
a = v\,\frac{dv}{dx}.
Aqui cada símbolo significa:
  • \,v(x)\,: velocidade escalar em função da posição \,x\,.
  • \,dv/dx\,: derivada da velocidade em relação à posição.
  • \,a\,: aceleração escalar ao longo da direção do movimento.
    Usaremos então \,F(x)=m\,a=m\,v\,\dfrac{dv}{dx}\,.

Passo 3

Calcular \,dv/dx\, a partir de \,v(x)=\dfrac{\alpha}{x}\,.\n
Primeiro reescrever \,v(x)=\alpha x^{-1}\,. Derivando em relação a \,x:
\frac{dv}{dx}=\alpha\frac{d}{dx}\bigl(x^{-1}\bigr)=\alpha(-1)x^{-2}=-\frac{\alpha}{x^{2}}.

Passo 4

Calcular a aceleração usando \,a=v\,\dfrac{dv}{dx}\,.\n
Substituindo \,v=\dfrac{\alpha}{x}\, e \,\dfrac{dv}{dx}=-\dfrac{\alpha}{x^{2}}\,:
a = \left(\frac{\alpha}{x}\right)\left(-\frac{\alpha}{x^{2}}\right) = -\frac{\alpha^{2}}{x^{3}}.
Portanto a aceleração escalar é \,a(x)=-\dfrac{\alpha^{2}}{x^{3}}\,. O sinal negativo indica que a aceleração aponta no sentido de diminuir \,x (isto é, dirigida para o origem).

Passo 5

Aplicar a segunda lei de Newton para obter a força.\n
F(x)=m\,a(x)=m\left(-\frac{\alpha^{2}}{x^{3}}\right) = -\frac{m\,\alpha^{2}}{x^{3}}.
Interpretando: a força tem módulo \dfrac{m\alpha^{2}}{x^{3}} e é dirigida para o origem (sinal negativo no eixo positivo de \,x\,).

Passo 6

Comentário didático rápido (opcional, para fixar o conceito).\n
  • A fórmula usada \,a=v\,dv/dx\, vem da regra da cadeia: \,dv/dt=(dv/dx)(dx/dt) e \,dx/dt=v.\n
  • Se quiser, a força é conservativa (dependendo apenas de \,x) e tem potencial associado \,U(x) tal que \,F=-dU/dx. Integrando:
U(x) = -\int F(x)\,dx = -\int\left(-\frac{m\alpha^{2}}{x^{3}}\right)dx = m\alpha^{2}\int x^{-3}dx = -\frac{m\alpha^{2}}{2x^{2}} + C,
onde \,C\, é constante arbitrária.

Resposta

F(x) = -\frac{m\,\alpha^{2}}{x^{3}}.

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