As in the problem above, the particle is projected to the right with initial kinetic energy T_{0} but subject to a force F(x)=-k x+k x^{3} / A^{2}, where k and A are positive constants. Find Find the turning points of the motion and the condition the total energy of the particle must satisfy if its motion is to exhibit turning points.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
  • Força que age na partícula: F(x) = -k x + \dfrac{k x^{3}}{A^{2}}, com k>0 e A>0.
  • A partícula é projetada para a direita com energia cinética inicial T_{0}. (Como no enunciado análogo, assumimos que a posição inicial é x=0; nesse ponto U(0) será tomada convenientemente.)
  • Perguntas pedidas:
    1. Determinar os pontos de inversão (turning points) da movimentação, isto é, os valores de x onde a velocidade fica nula.
    2. Encontrar a condição que a energia total deve satisfazer para que existam pontos de inversão.
Lista das informações relevantes que vamos usar:
  • A relação entre força conservativa e energia potencial: F(x) = -\dfrac{dU}{dx}.
  • Definição de ponto de inversão: nessa posição a energia cinética é zero, logo a energia total E satisfaz E = U(x_{\text{turn}}).
  • Se a partícula começa em x=0 e U(0) for tomada como zero, então a energia total inicial é E=T_{0}.

Passo 2

Vamos achar a energia potencial U(x) associada à força dada. A relação é
F(x) = -\dfrac{dU}{dx}.
Portanto
\dfrac{dU}{dx} = -F(x) = k x - \dfrac{k x^{3}}{A^{2}}.
Agora integramos em relação a x. Integração termo a termo:
U(x) = \int\!\left(k x - \dfrac{k x^{3}}{A^{2}}\right)dx = k\left(\dfrac{x^{2}}{2} - \dfrac{x^{4}}{4A^{2}}\right) + C,
onde C é constante de integração. É conveniente escolher C de modo que U(0)=0; assim C=0. Então tomamos
U(x) = k\left(\dfrac{x^{2}}{2} - \dfrac{x^{4}}{4A^{2}}\right).
Verificação rápida: \dfrac{dU}{dx}=k\left(x - \dfrac{x^{3}}{A^{2}}\right), então F(x)=-\dfrac{dU}{dx}=-k x + \dfrac{k x^{3}}{A^{2}}, que é a força dada — tudo consistente.

Passo 3

Definição prática de ponto de inversão: velocidade nula \Rightarrow energia cinética zero \Rightarrow energia total E igual à energia potencial naquele ponto:
E = U(x_{\text{turn}}).
Se a partícula parte de x=0 com energia cinética T_{0} e U(0)=0, então a energia total é
E = T_{0}.
Para encontrar as posições dos pontos de inversão precisamos resolver a equação
k\left(\dfrac{x^{2}}{2} - \dfrac{x^{4}}{4A^{2}}\right) = E.

Passo 4

Para simplificar a álgebra, introduzimos y = x^{2} (note que y\ge 0). Reescrevendo a equação em y:
\dfrac{k}{2}y - \dfrac{k}{4A^{2}}y^{2} = E.
Multiplicando por \dfrac{4A^{2}}{k} para eliminar coeficientes:
2A^{2}y - y^{2} = \dfrac{4A^{2}E}{k}.
Rearranjando em forma padrão de quadrática em y:
y^{2} - 2A^{2}y + \dfrac{4A^{2}E}{k} = 0.
Agora aplicamos a fórmula quadrática. O discriminante é
\Delta = (2A^{2})^{2} - 4\cdot 1\cdot \dfrac{4A^{2}E}{k} = 4A^{4} - \dfrac{16A^{2}E}{k} =4A^{4}\left(1 - \dfrac{4E}{kA^{2}}\right).
Assim as raízes para y são
y = \dfrac{2A^{2} \pm \sqrt{\Delta}}{2} = A^{2} \pm A^{2}\sqrt{1 - \dfrac{4E}{kA^{2}}} = A^{2}\left(1 \pm \sqrt{1 - \dfrac{4E}{kA^{2}}}\right).
Voltando a x (lembrando x = \pm\sqrt{y}), obtemos as quatro soluções possíveis:
x = \pm \sqrt{\,A^{2}\Bigl(1 \pm \sqrt{1 - \dfrac{4E}{kA^{2}}}\Bigr)\,}.
As duas escolhas dos sinais internos correspondem a dois valores de y (ambos não-negativos se a expressão sob o radical principal for não negativa), e o \pm externo dá as simetrias esquerda/direita.

Passo 5

Condição para que esses pontos sejam reais: a expressão dentro da raiz quadrada deve ser não negativa:
1 - \dfrac{4E}{kA^{2}} \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad E \le \dfrac{kA^{2}}{4}.
Interpretação física simples: U(x) tem máximos locais em x=\pm A. Avaliando a potencial em x=A:
U(A)=k\left(\dfrac{A^{2}}{2}-\dfrac{A^{4}}{4A^{2}}\right)=\dfrac{kA^{2}}{4}.
Portanto \dfrac{kA^{2}}{4} é a energia de topo da barreira; para energia total maior que isso a partícula pode ultrapassar a barreira e não haver pontos de inversão (foge para |x| grande). Para E<\dfrac{kA^{2}}{4} existem raízes reais; matematicamente aparecem até quatro valores de x (duas positivas e duas negativas). No caso em que a partícula parte de x=0 com velocidade para a direita, ela vai alcançar o menor valor positivo de x entre as raízes positivas — isto é
x_{\text{turn},+} = +\sqrt{\,A^{2}\Bigl(1 - \sqrt{1 - \dfrac{4E}{kA^{2}}}\Bigr)\,},
pois este é o primeiro ponto onde a energia cinética se anula ao mover-se para a direita; o outro valor positivo é uma raiz exterior maior e corresponde a uma outra volta possível se a partícula tivesse atravessado a barreira interna.

Passo 6

Aplicando ao caso inicial (partícula em x=0 com energia cinética T_{0}), a energia total é E=T_{0}. Assim a condição para existência de pontos de inversão é
T_{0} \le \dfrac{kA^{2}}{4},
e os pontos de inversão são, em termos de T_{0},
x = \pm \sqrt{\,A^{2}\Bigl(1 \pm \sqrt{1 - \dfrac{4T_{0}}{kA^{2}}}\Bigr)\,}.
Se T_{0}<\dfrac{kA^{2}}{4} existem quatro pontos reais (duas positivas e duas negativas); a partícula lançada para a direita a partir de x=0 atinge primeiramente
x = +\sqrt{\,A^{2}\Bigl(1 - \sqrt{1 - \dfrac{4T_{0}}{kA^{2}}}\Bigr)\,}.
Se T_{0}=\dfrac{kA^{2}}{4} os pontos de inversão coincidem com x=\pm A (barreira atingida).

Resposta

x = \pm \sqrt{\,A^{2}\Bigl(1 \pm \sqrt{1 - \dfrac{4E}{kA^{2}}}\Bigr)\,} (raízes gerais em função da energia total E).\n
Para a partícula que parte de x=0 com energia cinética T_{0} (logo E=T_{0}), os pontos de inversão são\n
x = \pm \sqrt{\,A^{2}\Bigl(1 \pm \sqrt{1 - \dfrac{4T_{0}}{kA^{2}}}\Bigr)\,} \n
e a condição para existirem pontos de inversão reais é\n
T_{0} \le \dfrac{kA^{2}}{4}.

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