As in the problem above, the particle is projected to the right with initial kinetic energy
but subject to a force
, where
and
are positive constants. Find Find the turning points of the motion and the condition the total energy of the particle must satisfy if its motion is to exhibit turning points.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
- Força que age na partícula:
, com e . - A partícula é projetada para a direita com energia cinética inicial
. (Como no enunciado análogo, assumimos que a posição inicial é ; nesse ponto será tomada convenientemente.) - Perguntas pedidas:
- Determinar os pontos de inversão (turning points) da movimentação, isto é, os valores de
onde a velocidade fica nula. - Encontrar a condição que a energia total deve satisfazer para que existam pontos de inversão.
- Determinar os pontos de inversão (turning points) da movimentação, isto é, os valores de
Lista das informações relevantes que vamos usar:
- A relação entre força conservativa e energia potencial:
. - Definição de ponto de inversão: nessa posição a energia cinética é zero, logo a energia total
satisfaz . - Se a partícula começa em
e for tomada como zero, então a energia total inicial é .
Passo 2
Vamos achar a energia potencial
associada à força dada. A relação é
Portanto
Agora integramos em relação a
. Integração termo a termo:
onde
é constante de integração. É conveniente escolher
de modo que
; assim
. Então tomamos
Verificação rápida:
, então
, que é a força dada — tudo consistente.
Passo 3
Definição prática de ponto de inversão: velocidade nula
energia cinética zero
energia total
igual à energia potencial naquele ponto:
Se a partícula parte de
com energia cinética
e
, então a energia total é
Para encontrar as posições dos pontos de inversão precisamos resolver a equação
Passo 4
Para simplificar a álgebra, introduzimos
(note que
). Reescrevendo a equação em
:
Multiplicando por
para eliminar coeficientes:
Rearranjando em forma padrão de quadrática em
:
Agora aplicamos a fórmula quadrática. O discriminante é
Assim as raízes para
são
Voltando a
(lembrando
), obtemos as quatro soluções possíveis:
As duas escolhas dos sinais internos correspondem a dois valores de
(ambos não-negativos se a expressão sob o radical principal for não negativa), e o
externo dá as simetrias esquerda/direita.
Passo 5
Condição para que esses pontos sejam reais: a expressão dentro da raiz quadrada deve ser não negativa:
Interpretação física simples:
tem máximos locais em
. Avaliando a potencial em
:
Portanto
é a energia de topo da barreira; para energia total maior que isso a partícula pode ultrapassar a barreira e não haver pontos de inversão (foge para |x| grande). Para
existem raízes reais; matematicamente aparecem até quatro valores de
(duas positivas e duas negativas). No caso em que a partícula parte de
com velocidade para a direita, ela vai alcançar o menor valor positivo de
entre as raízes positivas — isto é
pois este é o primeiro ponto onde a energia cinética se anula ao mover-se para a direita; o outro valor positivo é uma raiz exterior maior e corresponde a uma outra volta possível se a partícula tivesse atravessado a barreira interna.
Passo 6
Aplicando ao caso inicial (partícula em
com energia cinética
), a energia total é
. Assim a condição para existência de pontos de inversão é
e os pontos de inversão são, em termos de
,
Se
existem quatro pontos reais (duas positivas e duas negativas); a partícula lançada para a direita a partir de
atinge primeiramente
Se
os pontos de inversão coincidem com
(barreira atingida).
Resposta
Para a partícula que parte de
e a condição para existirem pontos de inversão reais é\n