As questões abaixo se referem ao movimento de uma partícula de massa
dentro de um poço de potencial infinito, definido na região
.
Prove a propriedade de ortogonalidade para as funções de onda de
e
classe, considerando
Prove a propriedade de ortogonalidade para as funções de onda de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente provar que certas funções de onda são ortogonais dentro de um poço de potencial infinito. Mais especificamente, temos que mostrar que:
- A integral de duas funções cosseno com argumentos diferentes (quando $ n $ e $ m $ são ímpares e $ n \neq m $) é zero.
- A integral de duas funções seno com argumentos diferentes (quando $ n $ e $ m $ são pares e $ n \neq m $) também é zero.
Pra resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas básicas e entender o conceito de ortogonalidade de funções de onda na mecânica quântica.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte dos cossenos. Queremos provar que:
Passo 3
Para resolver isso, vamos usar a identidade trigonométrica para o produto de cossenos:
Aplicando isso na nossa integral:
Passo 4
Agora, vamos integrar cada termo separadamente. A integral de $ \cos(kx) $ de $ -L $ a $ +L $ é zero quando $ k \neq 0 $. No nosso caso, $ k = \frac{(n + m)\pi}{a} $ e $ k = \frac{(n - m)\pi}{a} $.
Como $ n \neq m $ e ambos são ímpares, $ n + m $ e $ n - m $ serão pares ou ímpares, mas diferentes de zero. Então, ambas as integrais serão zero:
Passo 5
Agora, vamos fazer algo similar para a parte dos senos. Queremos provar que:
Passo 6
Usamos a identidade trigonométrica para o produto de senos:
Aplicando na integral:
Passo 7
Assim como antes, as integrais de $ \cos(kx) $ de $ -a/2 $ a $ +a/2 $ serão zero se $ k \neq 0 $. Como $ n $ e $ m $ são pares e diferentes, $ n + m $ e $ n - m $ também serão diferentes de zero, então:
Resposta
Assim, provamos que as funções de onda são ortogonais nas condições dadas. Ou seja:
e