As questões abaixo se referem ao movimento de uma partícula de massa m dentro de um poço de potencial infinito, definido na região -a / 2.
Prove a propriedade de ortogonalidade para as funções de onda de 1^a e 2^a classe, considerando n neq m
& integral-a / 2^+a / 2 cos (n pi xa) cos (m pi xa) d x=0 , onde n e m são números inteiros ímpares & integral-a / 2^+a / 2 sen(n pi xa) sen(m pi xa) d x=0 , onde n e m são números inteiros pares ãúíãú

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente provar que certas funções de onda são ortogonais dentro de um poço de potencial infinito. Mais especificamente, temos que mostrar que:
  1. A integral de duas funções cosseno com argumentos diferentes (quando $ n $ e $ m $ são ímpares e $ n \neq m $) é zero.
  2. A integral de duas funções seno com argumentos diferentes (quando $ n $ e $ m $ são pares e $ n \neq m $) também é zero.
Pra resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas básicas e entender o conceito de ortogonalidade de funções de onda na mecânica quântica.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte dos cossenos. Queremos provar que:
integral-a / 2^+a / 2 cos (n pi xa) cos (m pi xa) d x = 0 quando n neq m e n, m ímpares í

Passo 3

Para resolver isso, vamos usar a identidade trigonométrica para o produto de cossenos:
cos A cos B = 12 [cos(A + B) + cos(A - B)]
Aplicando isso na nossa integral:
integral-a / 2^+a / 2 cos (n pi xa) cos (m pi xa) d x = 12 integral-a / 2^+a / 2 [cos((n + m)pi xa) + cos((n - m)pi xa)] dx

Passo 4

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. A integral de $ \cos(kx) $ de $ -L $ a $ +L $ é zero quando $ k \neq 0 $. No nosso caso, $ k = \frac{(n + m)\pi}{a} $ e $ k = \frac{(n - m)\pi}{a} $.
Como $ n \neq m $ e ambos são ímpares, $ n + m $ e $ n - m $ serão pares ou ímpares, mas diferentes de zero. Então, ambas as integrais serão zero:
cos(kx)

Passo 5

Agora, vamos fazer algo similar para a parte dos senos. Queremos provar que:
integral-a / 2^+a / 2 sin (n pi xa) sin (m pi xa) d x = 0 quando n neq m e n, m pares

Passo 6

Usamos a identidade trigonométrica para o produto de senos:
sin A sin B = 12 [cos(A - B) - cos(A + B)]
Aplicando na integral:
integral-a / 2^+a / 2 sin (n pi xa) sin (m pi xa) d x = 12 integral-a / 2^+a / 2 [cos((n - m)pi xa) - cos((n + m)pi xa)] dx

Passo 7

Assim como antes, as integrais de $ \cos(kx) $ de $ -a/2 $ a $ +a/2 $ serão zero se $ k \neq 0 $. Como $ n $ e $ m $ são pares e diferentes, $ n + m $ e $ n - m $ também serão diferentes de zero, então:
cos(kx)

Resposta

Assim, provamos que as funções de onda são ortogonais nas condições dadas. Ou seja:
integral-a / 2^+a / 2 cos (n pi xa) cos (m pi xa) d x = 0 para n neq m ímpares í
e
integral-a / 2^+a / 2 sin (n pi xa) sin (m pi xa) d x = 0 para n neq m pares

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